Airy işlevi - Airy function - Wikipedia

Fiziksel bilimlerde, Airy işlevi (veya Birinci türden havadar işlev) Ai (x) bir özel fonksiyon İngiliz gökbilimcinin adını almıştır George Biddell Airy (1801–1892). Ai işlevi (x) ve ilgili işlev Bi (x)doğrusal olarak bağımsız çözümlerdir. diferansiyel denklem

olarak bilinir Airy denklemi ya da Stokes denklemi. Bu en basit ikinci derecedir doğrusal diferansiyel denklem bir dönüm noktasıyla (çözümlerin karakterinin salınımdan üstele değiştiği bir nokta).

Airy işlevi, zamandan bağımsız Schrödinger denklemi üçgen içinde hapsolmuş bir parçacık için potansiyel iyi ve tek boyutlu sabit kuvvet alanındaki bir parçacık için. Aynı nedenden dolayı, aynı zamanda, bir dönüm noktasının yakınında tek tip yarı klasik yaklaşımlar sağlamaya da hizmet eder. WKB yaklaşımı, potansiyel bir doğrusal konum fonksiyonu ile yerel olarak yaklaştırıldığında. Üçgen potansiyel kuyu çözümü, yarı iletkende hapsolmuş elektronların anlaşılmasıyla doğrudan ilgilidir. heterojonksiyonlar.

Airy işlevi aynı zamanda bir optik yönlülüğün yakınındaki yoğunluk biçiminin de temelini oluşturur. kostik, örneğin gökkuşağı. Tarihsel olarak, Airy'nin bu özel işlevi geliştirmesine neden olan matematiksel problem buydu.

Bir farklı işlev Airy'nin adını da alan önemli mikroskopi ve astronomi; açıklıyor Desen, Nedeniyle kırınım ve girişim tarafından üretilen nokta kaynağı ışık (bir ışığın çözünürlük sınırından çok daha küçük olan) mikroskop veya teleskop ).

Tanımlar

Ai Grafiği (x) kırmızı ve Bi (x) Mavi

Gerçek değerleri için x, birinci türden Airy işlevi şu şekilde tanımlanabilir: uygunsuz Riemann integrali:

hangi ile birleşir Dirichlet testi. Herhangi bir gerçek sayı için pozitif gerçek sayı var öyle ki işlev aralıkta sürekli ve sınırsız türevle artan, sınırsız ve dışbükey . İntegralin bu aralıktaki yakınsaması, ikameden sonra Dirichlet'in testi ile kanıtlanabilir. .

y = Ai (x) Airy denklemini karşılar

Bu denklemde iki Doğrusal bağımsız çözümler. Skaler çarpıma kadar, Ai (x) duruma bağlı çözüm y → 0 olarak x → ∞. Diğer çözüm için standart seçim, Bi olarak belirtilen ikinci türün Airy işlevidir (x). Ai ile aynı salınım genliğine sahip çözüm olarak tanımlanır (x) gibi x → −∞, faz olarak π / 2 farklılık gösterir:

Özellikleri

Ai'nin değerleri (x) ve Bi (x) ve türevleri x = 0 verilir

Burada, the, Gama işlevi. Bunu izler Wronskiyen Ai'nin (x) ve Bi (x) 1 / π.

Ne zaman x pozitif, Ai (x) pozitiftir, dışbükey ve üssel olarak sıfıra düşerken Bi (x) pozitiftir, dışbükeydir ve katlanarak artmaktadır. Ne zaman x negatif, Ai (x) ve Bi (x) sürekli artan frekans ve sürekli azalan genlikle sıfır civarında salınır. Bu, Airy işlevleri için aşağıdaki asimptotik formüllerle desteklenir.

Airy işlevleri ortogonaldir[1] anlamda olduğu

yine uygunsuz bir Riemann integrali kullanarak.

Asimptotik formüller

Ai (mavi) ve sinüzoidal / üstel asimptotik Ai formu (macenta)
Bi (mavi) ve sinüzoidal / üstel asimptotik Bi formu (macenta)

Aşağıda açıklandığı gibi, Airy fonksiyonları karmaşık düzleme genişletilebilir. tüm fonksiyonlar. Airy'nin asimptotik davranışı şu şekilde işlev görür: | z | sabit bir değerde sonsuza gider arg (z) arg (z): buna Stokes fenomeni. İçin | arg (z) | <π aşağıdakilere sahibiz asimptotik formül Ai için (z):[2]

ve Bi için benzer bir tane (z), ancak yalnızca | arg (z) | <π / 3:

Ai için daha doğru bir formül (z) ve Bi için bir formül (z) π / 3 <| arg (z) | <π veya eşdeğer olarak Ai için (-z) ve Bi (-z) ne zaman | arg (z) | <2π / 3 ancak sıfır değil:[2][3]

Ne zaman | arg (z) | = 0 bunlar iyi tahminlerdir ancak asimptotik değildir çünkü Ai (-z) veya Bi (-z) ve sinüs veya kosinüs sıfıra gittiğinde yukarıdaki yaklaşım sonsuza gider.Asimptotik genişletmeler bu sınırlar için de mevcuttur. Bunlar (Abramowitz ve Stegun, 1954) ve (Olver, 1974) 'de listelenmiştir.

Ayrıca Ai '(z) ve Bi' (z) türevleri için asimptotik ifadeler elde edilebilir. Öncekine benzer şekilde, | arg (z) | <π:[3]

| Arg (z) | <π / 3 olduğunda:[3]

Benzer şekilde, Ai '(-z) ve Bi '(-z) ne zaman | arg (z) | <2π / 3 ama sıfır değil,[3]

Karmaşık argümanlar

Airy fonksiyonunun tanımını karmaşık düzleme şu şekilde genişletebiliriz:

integralin bir yol üzerinde olduğu yer C sonsuz noktasından arg / 3 argümanıyla başlayıp π / 3 argümanıyla sonsuz noktasında bitiyor. Alternatif olarak, diferansiyel denklemi kullanabiliriz y′′ − xy = 0 Ai'yi genişletmek için (x) ve Bi (x) için tüm fonksiyonlar karmaşık düzlemde.

Ai için asimptotik formül (x), karmaşık düzlemde hala geçerlidir, eğer asal değeri x2/3 alınır ve x negatif gerçek eksenden uzakta sınırlanmıştır. Bi formülü (x) sağlandı x sektörde {xC : | arg (x) | Bazı pozitif δ için <(π / 3) −δ}. Son olarak, Ai'nin formülleri (-x) ve Bi (-x) geçerli ise x sektörde {xC : | arg (x) | <(2π / 3) −δ}.

Airy işlevlerinin asimptotik davranışından her iki Ai'nin de (x) ve Bi (x) negatif gerçek eksende sonsuz sıfır var. Ai işlevi (x) karmaşık düzlemde başka sıfırlara sahipken, Bi (x) ayrıca sektörde sonsuz sayıda sıfıra sahiptir {zC : π / 3 <| arg (z) | <π / 2}.

Arsalar

AiryAi Real Surface.pngAiryAi Imag Surface.pngAiryAi Abs Surface.pngAiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svgAiryAi Imag Contour.svgAiryAi Abs Contour.svgAiryAi Arg Contour.svg
AiryBi Real Surface.pngAiryBi Imag Surface.pngAiryBi Abs Surface.pngAiryBi Arg Surface.png
AiryBi Gerçek Contour.svgAiryBi Imag Contour.svgAiryBi Abs Contour.svgAiryBi Arg Contour.svg

Diğer özel işlevlerle ilişkisi

Olumlu argümanlar için Airy işlevleri, değiştirilmiş Bessel fonksiyonları:

Buraya, ben±1/3 ve K1/3 çözümleri

Airy işlevinin ilk türevi şudur:

Fonksiyonlar K1/3 ve K2/3 hızlı yakınsayan integraller cinsinden temsil edilebilir[4] (Ayrıca bakınız değiştirilmiş Bessel fonksiyonları )

Negatif argümanlar için Airy işlevi, Bessel fonksiyonları:

Buraya, J±1/3 çözümleri

Golcünün işlevleri Selam(x) ve -Gi(x) denklemi çöz y′′ − xy = 1 / π. Airy işlevleri açısından da ifade edilebilirler:

Fourier dönüşümü

Airy işlevi Ai (x), göstermesi basittir Fourier dönüşümü tarafından verilir

Airy işlevi teriminin diğer kullanımları

Bir Fabry – Pérot interferometrenin geçirgenliği

Fabry-Pérot interferometre geçirgenliği anlamında "Airy fonksiyonu".

A'nın geçirgenlik fonksiyonu Fabry – Pérot girişim ölçer olarak da anılır Airy Fonksiyonu:[5]

her iki yüzeyin de yansıması olduğu R ve

... incelik katsayısı.

Dairesel bir diyafram açıklığında kırınım

Dairesel açıklık üzerindeki kırınım anlamında "havadar fonksiyon".

Bağımsız olarak, terimin üçüncü anlamı olarak, Airy disk dalgadan kaynaklanan kırınım dairesel bir diyafram açıklığında bazen şu şekilde de belirtilir: Airy işlevi (bkz. ör. İşte ). Bu tür bir işlev yakından ilişkilidir. Bessel işlevi.

Tarih

Airy işlevi, ingiliz astronom ve fizikçi George Biddell Airy (1801-1892), ilk çalışmasında onunla karşılaşan optik fizikte (Airy 1838). Ai notasyonu (x) tarafından tanıtıldı Harold Jeffreys. Airy İngiliz olmuştu Gökbilimci Kraliyet 1835'te emekli olana kadar bu görevi 1881'de sürdürdü.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ David E. Aspnes, Fiziksel İnceleme, 147, 554 (1966)
  2. ^ a b Abramowitz ve Stegun (1970, s.448 ), Eşitlik 10.4.59, 10.4.61
  3. ^ a b c d Abramowitz ve Stegun (1970, s.448 )10.4.60 ve 10.4.64 denklemleri
  4. ^ M.Kh.Khokonov. Sert Fotonların Emisyonuyla Enerji Kaybının Kademeli Süreçleri // JETP, V.99, No. 4, s. 690-707 (2004).
  5. ^ Hecht Eugene (1987). Optik (2. baskı). Addison Wesley. ISBN  0-201-11609-X. Mezhep. 9.6

Referanslar

Dış bağlantılar