Baumslag – Gersten grubu - Baumslag–Gersten group

Matematiksel konusunda geometrik grup teorisi, Baumslag – Gersten grubuolarak da bilinir Baumslag grubu, belirli bir tek ilişkili grup sonlu ile ilgili bazı dikkat çekici özellikler sergileyen bölüm grupları, onun Dehn işlevi ve karmaşıklığı kelime sorunu.

Grup tarafından verilir sunum

${ displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, t mid (t ^ {- 1} a ^ {- 1} t) a (t ^ {- 1} at) = a ^ {2} rangle}$

Burada grup elemanları için üslü gösterim, konjugasyonu ifade eder, yani, ${ displaystyle g ^ {h} = h ^ {- 1} gh}$ için ${ displaystyle g, h G dilinde}$.

Tarih

Baumslag – Gersten grubu G ilk olarak 1969 tarihli bir gazetede tanıtıldı Gilbert Baumslag,^[1] bir örnek olarakartık sonlu tek ilişkili grup tamamının sonlu olduğu ek bir dikkat çekici özellik ile bölüm grupları bu grup döngüseldir. Daha sonra 1992'de Stephen Gersten^[2] bunu gösterdi G, oldukça basit bir sunumla verilen tek ilişkisel bir grup olmasına rağmen, Dehn işlevi çok hızlı, yani üstel fonksiyonun herhangi bir sabit yinelemesinden daha hızlı büyüyor. Bu örnek, tek ilişkili gruplar arasında Dehn işlevinin bilinen en hızlı büyümesi olmaya devam ediyor. 2011'de Alexei Myasnikov, Alexander Ushakov ve Dong Wook Won^[3] Kanıtlandı G var kelime sorunu polinom zamanda çözülebilir.

HNN uzantısı olarak Baumslag-Gersten grubu

Baumslag – Gersten grubu G olarak da gerçekleştirilebilir HNN uzantısı of Baumslag – Solitar grubu ${ displaystyle BS (1,2) = a, b ortası ^ {b} = a ^ {2} rangle}$ istikrarlı mektupla t ve iki döngüsel ilişkili alt grup${ displaystyle langle a rangle, langle b rangle}$:

${ displaystyle G = langle a, t mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} rangle = langle a, b, t mid a ^ {b} = a ^ {2} , bir ^ {t} = b rangle.}$

Baumslag – Gersten grubunun özellikleri G

• Her sonlu bölüm grubu nın-nin G dır-dir döngüsel. Özellikle grup G değil artık sonlu.^[1]
• Bir endomorfizm G ya bir otomorfizmdir ya da görüntüsü döngüsel bir alt gruptur G. Özellikle grup G dır-dir Hopfian ve eş-Hopfian.^[4]
• dış otomorfizm grubu Dışarı(G) nın-nin G ikili rasyonel katkı grubu için izomorfiktir ${ displaystyle mathbb {Z} sol [{ frac {1} {2}} sağ]}$ ve özellikle sonlu olarak üretilmez.^[4]
• Gersten kanıtladı^[2] bu Dehn işlevi f(n) nın-nin G üstelin herhangi bir sabit yinelemesinden daha hızlı büyür. Daha sonra A.N. Platonov^[5] Kanıtlandı f (n) eşdeğerdir

${ displaystyle exp ^ { circ log n} (1) = ( exp underbrace { circ cdots circ} _ { log n { text {times}}} exp) (1)}$

• Myasnikov, Ushakov ve Won,^[3] "güç devreleri" aritmetiğinin sıkıştırma yöntemlerini kullanarak, kelime probleminin G polinom zamanda çözülebilir. Böylece grup G Dehn işlevinin büyümesi ile kelime probleminin karmaşıklığı arasında büyük bir boşluk sergiler.
• eşlenik sorunu içinde G karar verilebilir olduğu biliniyor, ancak Janis Beese nedeniyle eşlenik sorununun karmaşıklığı için bilinen en kötü durum üst sınır tahmini, temel özyinelemeli.^[6] Güç devresi bölünmesi problemlerindeki bazı azaltmalara dayalı olarak bu tahminin keskin olduğu varsayılmaktadır.^[7] Var şiddetle genel olarak için eşlenik probleminin polinom zaman çözümü G.^[7]

Genellemeler

• Andrew Brunner^[4] formun tek ilişkili grupları olarak kabul edilir

${ displaystyle langle a, t mid (a ^ {p}) ^ {(t ^ {- 1} a ^ {k} t)} = a ^ {m} rangle,}$ nerede ${ displaystyle p, k, m neq 0}$

ve Baumslag'ın orijinal sonuçlarının çoğunu bu bağlamda genelleştirdi.

• Mahan Mitra^[8] düşünülmüş bir kelime-hiperbolik analog G Baumslag-Gersten grubunun, Mitra'nın grubunun üçüncü derece ücretsiz bir alt gruba sahip olduğu, Gyani, alt grup distorsiyonunun üstelin herhangi bir sabit yinelemeli gücünden daha yüksek olduğu yer.

Ayrıca bakınız

• Alt grup bozulması

Referanslar

Dış bağlantılar

• Pozitif olmayan eğimli grupların sonlu olarak sunulan alt gruplarının bozulması, Baumslag – Gersten grubundaki alt grup bozulmasını gösteren van Kampen diyagramlarını ve Mitra benzeri örneklerin tartışılmasını içeren, Cornell'deki Bahar 2011 Berstein Semineri blogu