Brams-Taylor prosedürü - Brams–Taylor procedure

Brams-Taylor prosedürü (BTP) için bir prosedürdür kıskanç kek kesme. Herhangi bir pozitif tam sayı oyuncu arasında bir pastanın kıskanç bir şekilde bölünmesini sağlamak için ilk sonlu prosedürü açıkladı.^[1]

Tarih

1988'de, BTP'nin keşfinden önce, Sol Garfunkel teoremin çözdüğü problemin, yani n-kişi kıskanmadan kek kesme, 20. yüzyıl matematiğinin en önemli problemleri arasında olduğunu ileri sürmüştür.^[2]

BTP tarafından keşfedildi Steven Brams ve Alan D. Taylor. İlk olarak Ocak 1995 sayısında yayınlandı. American Mathematical Monthly,^[3] ve daha sonra 1996'da yazarların kitabında.^[4]

Brams ve Taylor ortak ABD patenti 1999'dan itibaren BTP ile ilgili.^[5]

Açıklama

BTP, pastayı parça parça böler. BTP'nin tipik bir ara durumu aşağıdaki gibidir:

• Pastanın bir parçası, söyle ${ displaystyle X}$, tüm ortaklar arasında kıskanç bir şekilde bölünmüştür.
• Pastanın geri kalanı söyle ${ displaystyle Y}$, bölünmemiş olarak kalır, ancak -
• Partnerlerden biri, Alice'in bir Geri Alınamaz Avantaj Bob, başka bir ortağa göre (IA) ${ displaystyle Y}$. Bu, nasıl olursa olsun ${ displaystyle Y}$ bölünmüş olsa bile ${ displaystyle Y}$ tamamen Bob'a, Alice hala Bob'u kıskanmıyor.

Bir IA'nın nasıl oluşturulabileceğine dair bir örnek olarak, ilk aşamayı düşünün. Selfridge – Conway ayrık prosedür:

• Alice pastayı eşit gördüğü 3 parçaya böler; parçaları arayalım ${ displaystyle A, B, C}$.
• Bob en büyük olduğunu düşündüğü parçayı düzeltir (örneğin ${ displaystyle A}$) ikinci en büyüğüne eşit hale getirmek için; hadi süsleri arayalım ${ displaystyle Y}$ ve kesilmiş parça ${ displaystyle A setminus Y}$.
• Charlie bir parça seçer ${ displaystyle (A setminus Y), B, C}$; sonra Bob seçer (alması gerekir ${ displaystyle (A setminus Y)}$ varsa); ve son olarak Alice.

Bu aşama yapıldıktan sonra pastanın tamamı hariç ${ displaystyle Y}$ kıskanç bir şekilde bölünmüştür. Ek olarak, Alice artık her kim olursa olsun ${ displaystyle (A setminus Y)}$. Neden? çünkü Alice ikisini de aldı ${ displaystyle B}$ veya ${ displaystyle C}$ve her ikisi de eşittir ${ displaystyle A}$ Onun görüşüne göre. Öyleyse, Alice'e göre, kim aldıysa ${ displaystyle (A setminus Y)}$ ayrıca sahip olabilir ${ displaystyle Y}$ - bu onu kıskanmaz.

Alice'in belirli bir oyuncu (ör. Bob) üzerinden IA aldığından emin olmak istiyorsak, çok daha karmaşık bir prosedür gerekir. Pastayı art arda daha küçük parçalara böler ve her zaman Alice'e Bob'dan daha çok değer verdiği bir parça verir, böylece bir IA korunur. Bu, Alice ve Bob'un kesin değerlemelerine bağlı olarak sınırsız bir zaman alabilir.

IA prosedürünü kullanarak, ana BTP prosedürü, tüm sıralı ortak çiftleri için IA'lar oluşturur. Örneğin, 4 ortak olduğunda, 12 sıralı ortak vardır. Bu tür her bir çift için (X, Y), X iş ortağının Y'ye göre bir IA'ya sahip olmasını garanti eden bir alt prosedür çalıştırıyoruz.Her ortağın diğer tüm ortaklar üzerinde bir IA'sı olduktan sonra, kalanını keyfi bir ortağa verebiliriz ve sonuç, tüm pastanın kıskanç bir şekilde bölünmesidir.

Ayrıca bakınız

• Brams – Taylor – Zwicker prosedürü - 4 ortak için sınırlı sayıda kesim kullanan hareketli bıçak prosedürü.
• Kıskanç kek kesme - aynı sorun için daha eski ve daha yeni prosedürler.

Referanslar