Topolojik vektör uzaylarının kategorisi - Category of topological vector spaces

İçinde matematik, topolojik vektör uzayları kategorisi ... kategori kimin nesneler vardır topolojik vektör uzayları ve kimin morfizmler vardır sürekli doğrusal haritalar onların arasında. Bu bir kategoridir çünkü kompozisyon iki sürekli doğrusal haritanın, yine sürekli doğrusal bir haritadır. Kategori genellikle belirtilir TVect veya TVS.

Bir topolojik alan Kbir de düşünülebilir alt kategori TVect_K topolojik vektör uzaylarının K sürekli Kmorfizmler olarak doğrusal haritalar.

TVect somut bir kategoridir

Birçok kategori gibi, kategori TVect bir beton kategori yani nesneleri setleri ek yapıya sahip (ör. vektör alanı yapı ve bir topoloji ) ve morfizmaları fonksiyonlar bu yapıyı korumak. Bariz var unutkanlar içine topolojik uzaylar kategorisi, vektör uzayları kategorisi ve kümeler kategorisi.

TVect_{${displaystyle K}$} topolojik bir kategoridir

Kategori topolojiktir, bu da aynı şekilde vektör uzayları kategorisi olan "temel kategori" ile ilişkili olduğu anlamına gelir. Üst alakalı Ayarlamak. Resmen, herkes için K-vektör alanı ${displaystyle V}$ ve her aile ${displaystyle ((V_ {i}, au _ {i}), f_ {i}) _ {iin I}}$ topolojik K-vektör uzayları ${displaystyle (V_ {i}, au _ {i})}$ ve K-doğrusal haritalar ${displaystyle f_ {i}: V o V_ {i},}$ bir vektör uzayı topolojisi var ${displaystyle au}$ açık ${displaystyle V}$ böylece aşağıdaki özellik yerine getirilir:

Her ne zaman ${displaystyle g: Z o V}$ bir K-topolojik bir doğrusal harita K-vektör alanı ${görüntü stili (Z, sigma),}$ bunu tutar

${ekran stili g: (Z, sigma) o (V, au)}$ sürekli ${displaystyle iff}$ ${displaystyle forall iin I: f_ {i} circ g: (Z, sigma) o (V_ {i}, au _ {i})}$ süreklidir.

Topolojik vektör uzayı ${displaystyle (V, au)}$ verilen verilere göre "ilk nesne" veya "başlangıç ​​yapısı" olarak adlandırılır.

Biri "vektör uzayı" nı "küme" ve "doğrusal harita" ile "harita" ile değiştirirse, normal başlangıç ​​topolojilerinin bir karakterizasyonu elde edilir. Üst. Bu özelliğe sahip kategorilere "topolojik" denmesinin nedeni budur.

Bu özelliğin birçok sonucu vardır. Örneğin:

• "Ayrık" ve "ayrık" nesneler mevcuttur. Bir topolojik vektör uzayı, boş aileye göre ilk yapı olduğu sürece ayrılmazdır. Bir topolojik vektör uzayı, tüm olası doğrusal haritaların tüm topolojik vektör uzayları ailesine göre başlangıç ​​yapısı olduğu sürece, ayrıktır. (Bu aile uygun bir sınıftır, ancak bu önemli değildir: Tüm sınıflara göre başlangıç ​​yapıları, tüm kümelere göre varolmaları halinde var olur)
• Nihai yapılar (benzer tanımlanmış analogdan nihai topolojilere) mevcuttur. Ancak bir püf noktası var: Yukarıdaki özelliğin başlangıç ​​yapısı aslında üzerindeki olağan ilk topoloji olsa da ${displaystyle V}$ göre ${displaystyle (au _ ​​{i}, f_ {i}) _ {iin I}}$, nihai yapıların verilen haritalara göre nihai olması gerekmemektedir. Üst. Örneğin: Ayrık nesneler (= boş aileye göre nihai) ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ ayrık topolojiyi taşımayın.
• Unutkan işlevlerin aşağıdaki diyagramı işe gidip geldiğinden

${displaystyle {egin {dizi} {ccc} {extbf {Vect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Set}} uparrow && uparrow {extbf {TVect}} _ {K} & ightarrow & {extbf {Top}} son {dizi}}}$

ve gelen unutkan functor ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ -e Ayarlamak sağ ek noktadır, unutkan işleci ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ -e Üst aynı zamanda sağ eşleniktir (ve karşılık gelen sol bitişik bir analog değişmeli diyagrama uyar). Bu sol ek, "serbest topolojik vektör uzaylarını" tanımlar. Açıkça bunlar ücretsizdir K-belirli bir başlangıç ​​topolojisi ile donatılmış vektör uzayları.

• Dan beri^{[açıklama gerekli ]} ${displaystyle {extbf {Vect}} _ {K}}$ (co) tamamlandı, ${displaystyle {extbf {TVect}} _ {K}}$ (co) da tamamlandı.

Referanslar

• Lang, Serge (1972). Diferansiyel manifoldlar. Reading, Mass. – London – Don Mills, Ont .: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.