Eulers güçlerin toplamı varsayımı - Eulers sum of powers conjecture - Wikipedia

Euler'in varsayımı onaylanmamış varsayım içinde matematik ile ilgili Fermat'ın son teoremi. Tarafından önerildi Leonhard Euler 1769'da. Herkes için tamsayılar n ve k 1'den büyükse, eğer toplamı n kpozitif tamsayıların kuvvetlerinin kendisi a ko zaman n şundan büyük veya eşittir k:

a k
1
 
+ a k
2
 
+ ... + a k
n
 
= bk
nk

Varsayım, genelleştirme girişimini temsil eder Fermat'ın son teoremi hangi özel durum n = 2: Eğer a k
1
 
+ a k
2
 
= bk
, sonra 2 ≥ k.

Varsayım dava için geçerli olsa da k = 3 (Fermat'ın üçüncü kuvvetler için son teoremini takip eden), k = 4 ve k = 5. Varsayımın başarısız olup olmadığı veya herhangi bir değer için geçerli olup olmadığı bilinmemektedir. k ≥ 6.

Arka fon

Euler eşitliğin farkındaydı 594 + 1584 = 1334 + 1344 dört dördüncü kuvvetin toplamını içeren; ancak bu bir karşı örnek çünkü denklemin bir tarafında hiçbir terim izole edilmemiştir. Dört küp problemine de olduğu gibi tam bir çözüm sağladı. Platon numarası 33 + 43 + 53 = 63 ya da taksi numarası 1729.[1][2] Denklemin genel çözümü

dır-dir

nerede a ve b herhangi bir tam sayıdır.

Karşı örnekler

Euler'in varsayımı, L. J. Lander ve T. R. Parkin 1966'da, bir doğrudan bilgisayar aramasıyla CDC 6600 için bir karşı örnek buldular k = 5.[3] Bu sadece iki cümleden oluşan bir makalede yayınlandı.[3] Toplam üç ilkel (yani, zirvelerin hepsinin ortak bir faktörü olmadığı) karşı örnekler bilinmektedir:

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander ve Parkin, 1966),
(−220)5 + 50275 + 62375 + 140685 = 141325 (Scher & Seidl, 1996) ve
555 + 31835 + 289695 + 852825 = 853595 (Frye, 2004).

1986'da Noam Elkies için sonsuz bir karşı örnek serisi oluşturmak için bir yöntem buldu. k = 4 durum.[4] En küçük karşı örneği

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734.

Elkies'in çözümlerinin belirli bir durumu kimliğe indirgenebilir[5][6]

(85v2 + 484v − 313)4 + (68v2 − 586v + 10)4 + (2sen)4 = (357v2 − 204v + 363)4

nerede

sen2 = 22030 + 28849v56158v2 + 36941v331790v4.

Bu bir eliptik eğri Birlikte akılcı nokta -de v1 = −31/467. Bu ilk rasyonel noktadan, başkalarının sonsuz bir koleksiyonunu hesaplayabiliriz. İkame v1 özdeşlik içine sokmak ve ortak faktörleri kaldırmak, yukarıda belirtilen sayısal örneği verir.

1988'de Roger Frye mümkün olan en küçük karşı örneği buldu

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814

için k = 4 Elkies tarafından önerilen teknikleri kullanarak doğrudan bir bilgisayar aramasıyla. Bu çözüm, değişkenlerin değerleri 1.000.000'un altında olan tek çözümdür.[7]

Genellemeler

Platon'un sayısının bir yorumu, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

1967'de L.J. Lander, T.R. Parkin ve John Selfridge varsayılan[8] Eğer

,

nerede abenbj hepsi için pozitif tamsayılardır 1 ≤ benn ve 1 ≤ jm, sonra m + nk. Özel durumda m = 1varsayım, eğer

(yukarıda verilen koşullar altında) o zaman nk − 1.

Özel durum, verilme sorunu olarak tanımlanabilir. bölüm birkaç benzer güçte mükemmel bir güç. İçin k = 4, 5, 7, 8 ve n = k veya k − 1bilinen birçok çözüm var. Bunlardan bazıları aşağıda listelenmiştir. 2002 itibariyle, çözüm bulunmamaktadır. son vadesi ≤ 730000 olan.[9]

k = 3

33 + 43 + 53 = 63 (Platon numarası 216)
Bu durumda a=1, b= 0 / Srinivasa Ramanujan formülü
[10]
Üç küpün toplamı olarak bir küp de şu şekilde parametrelendirilebilir:
veya olarak
[10]
2100000 sayısı3 dokuz farklı şekilde üç küpün toplamı olarak ifade edilebilir.[10]

k = 4

958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (R. Frye, 1988)[4]
304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534 (R. Norrie, 1911)[8]

Bu, soruna R. Norrie'nin sunduğu en küçük çözümdür.

k = 5

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander ve Parkin, 1966)[11]
195 + 435 + 465 + 475 + 675 = 725 (Lander, Parkin, Selfridge, en küçüğü, 1967)[8]
75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075 (Sastry, 1934, üçüncü en küçük)[8]

k = 7

1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687 (M.Dodrill, 1999)[kaynak belirtilmeli ]

k = 8

908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098 (S. Chase, 2000)[kaynak belirtilmeli ]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Dunham, William, ed. (2007). Euler'in Dahisi: Hayatı ve Çalışmaları Üzerine Düşünceler. MAA. s. 220. ISBN  978-0-88385-558-4.
  2. ^ Titus, III, Piezas (2005). "Euler'in Genişletilmiş Varsayımı".
  3. ^ a b Lander, L. J .; Parkin, T.R (1966). "Benzer güçlerin toplamı üzerine Euler'in varsayımına karşı örnek". Boğa. Amer. Matematik. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11654-3.
  4. ^ a b Elkies, Noam (1988). "Açık Bir4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Hesaplamanın Matematiği. 51 (184): 825–835. doi:10.1090 / S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR  2008781. BAY  0930224.
  5. ^ "Elkies" a4+b4+c4 = d4".
  6. ^ "Üç Dördüncü Gücün Toplamları".
  7. ^ Frye, Roger E. (1988), "95800'ü Bulmak4 + 2175194 + 4145604 = 4224814 Bağlantı Makinesinde ", Supercomputing 88, Cilt II: Bilim ve Uygulamalar Bildirileri, s. 106–116, doi:10.1109 / SUPERC.1988.74138
  8. ^ a b c d Lander, L. J .; Parkin, T. R .; Selfridge, J.L. (1967). "Benzer Yetkilerin Eşit Miktarları Üzerine Bir Araştırma". Hesaplamanın Matematiği. 21 (99): 446–459. doi:10.1090 / S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR  2003249.
  9. ^ Giovanni Resta ve Jean-Charles Meyrignac (2002). Diophantine Denklemine En Küçük Çözümler , Matematik Hesaplama, cilt 72, s. 1054 (Bkz. daha fazla iş Bölüm).
  10. ^ a b c Matematik dünyası: Diophantine Equation - 3. Kuvvetler
  11. ^ Burkard Polster (24 Mart 2018). "Euler'in ve Fermat'ın son teoremleri, Simpsonlar ve CDC6600" (video). Alındı 2018-03-24.

Dış bağlantılar