Kesirli mertebe sistemi - Fractional-order system - Wikipedia

Alanlarında dinamik sistemler ve kontrol teorisi, bir kesirli mertebe sistemi tarafından modellenebilen dinamik bir sistemdir. kesirli diferansiyel denklem kapsamak tamsayı olmayan mertebeden türevler.[1] Bu tür sistemlerin sahip olduğu söyleniyor kesirli dinamik. Kesirli mertebelerin türevleri ve integralleri ile karakterize edilebilecek nesneleri tanımlamak için kullanılır Güç yasası yerel olmama,[2] Güç yasası uzun vadeli bağımlılık veya fraktal özellikleri. Kesirli mertebeli sistemler, dinamik sistemlerin fizikteki anormal davranışını incelemede kullanışlıdır, elektrokimya, Biyoloji, viskoelastisite ve kaotik sistemler.[1]

Tanım

Kesirli mertebede genel bir dinamik sistem formda yazılabilir[3]

nerede ve fonksiyonlarıdır kesirli türev Şebeke siparişlerin ve ve ve zamanın işlevleridir. Bunun yaygın bir özel durumu, doğrusal zamanla değişmeyen (LTI) sistemi tek değişkenli:

Emirler ve genel olarak karmaşık miktarlardır, ancak iki ilginç durum, siparişlerin orantılı

ve onlar da akılcı:

Ne zaman , türevler tamsayı sırasına sahiptir ve sistem bir adi diferansiyel denklem. Bu nedenle, uzmanlaşmayı artırarak, LTI sistemleri genel, orantılı, rasyonel veya tamsayı sıralı olabilir.

Transfer işlevi

Uygulayarak Laplace dönüşümü yukarıdaki LTI sistemine, transfer işlevi olur

Genel siparişler için ve bu rasyonel olmayan bir transfer fonksiyonudur. Rasyonel olmayan transfer fonksiyonları, sınırlı sayıda terimdeki bir genişletme olarak yazılamaz (örneğin, a iki terimli açılım sonsuz sayıda terime sahip olacaktır) ve bu anlamda kesirli mertebeli sistemlerin sınırsız bellek potansiyeline sahip olduğu söylenebilir.[3]

Kesirli sıralı sistemleri inceleme motivasyonu

Üstel yasalar, nüfus yoğunluklarının dinamiklerini incelemek için klasik bir yaklaşımdır, ancak dinamiklerin üstel yasalardan daha hızlı veya daha yavaş geçtiği birçok sistem vardır. Böyle bir durumda, dinamiklerdeki anormal değişiklikler en iyi şu şekilde tanımlanabilir: Mittag-Leffler fonksiyonları.[4]

Anormal difüzyon fraksiyonel sıralı sistemlerin difüzyon sürecindeki anormal akışı tanımlamada önemli bir rol oynadığı dinamik bir sistemdir.

Viskoelastisite malzemenin doğasını tamamen elastik ve saf akışkan arasında sergilediği malzemenin özelliğidir. Gerçek malzemeler olması durumunda, gerilim ve şekil değiştirme arasındaki ilişki Hook kanunu ve Newton yasası her ikisinin de bariz dezavantajları var. Yani G. W. Scott Blair tarafından verilen stres ve zorlanma arasında yeni bir ilişki başlattı

[kaynak belirtilmeli ]

İçinde kaos teorisi kaosun meydana geldiği gözlemlenmiştir. dinamik sistemler sipariş 3 veya daha fazla. Kesirli mertebeden sistemlerin getirilmesiyle, bazı araştırmacılar toplam düzen sistemindeki kaosu 3'ten daha az inceliyor.[5]

Kesirli diferansiyel denklemlerin analizi

Kesirli bir sıra düşünün başlangıç ​​değeri problemi:

Varoluş ve benzersizlik

Burada, f fonksiyonundaki süreklilik koşulu altında, yukarıdaki denklem karşılık gelen integral denkleme dönüştürülebilir.

Bir çözüm uzayı oluşturabilir ve bu denklemle çözüm uzayında sürekli bir öz harita tanımlayabilir ve ardından bir sabit nokta teoremi, almak için sabit nokta, yukarıdaki denklemin çözümüdür.

Sayısal simülasyon

Yukarıdaki denklemlerin çözümünün sayısal simülasyonu için Kai Diethelm, kesirli doğrusal çok adımlı Adams-Bashforth yöntemi veya kareleme yöntemleri.[6]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b Monje, Concepción A. (2010). Kesirli Sıralı Sistemler ve Kontroller: Temeller ve Uygulamalar. Springer. ISBN  9781849963350.
  2. ^ Cattani, Carlo; Srivastava, Hari M .; Yang, Xiao-Haziran (2015). Kesirli Dinamik. Walter de Gruyter KG. s. 31. ISBN  9783110472097.
  3. ^ a b Vinagre, Blas M .; Monje, C. A .; Calderon, Antonio J. "Kesirli Sıralı Sistemler ve Kesirli Sıra Kontrol İşlemleri" (PDF). 41. IEEE Karar ve Kontrol Konferansı.
  4. ^ Rivero, M. (2011). "Popülasyonların fraksiyonel dinamikleri". Appl. Matematik. Bilgisayar. 218 (3): 1089–95. doi:10.1016 / j.amc.2011.03.017.
  5. ^ Petras, Ivo; Bednarova, Dagmar (2009). "Kesirli mertebeli kaotik sistemler". 2009 IEEE Gelişen Teknolojiler ve Fabrika Otomasyonu Konferansı. s. 1–8. doi:10.1109 / ETFA.2009.5347112. ISBN  978-1-4244-2727-7.
  6. ^ Diethelm, Kai. "Kesirli Hesapta Sayısal Yöntemler Üzerine Bir Araştırma" (PDF). CNAM. Alındı 6 Eylül 2017.

daha fazla okuma

Dış bağlantılar