Freges teoremi - Freges theorem - Wikipedia

İçinde metalojik ve metamatematik, Frege teoremi bir metateorem bu şunu belirtir Peano aksiyomları nın-nin aritmetik türetilebilir ikinci dereceden mantık itibaren Hume ilkesi. İlk olarak gayri resmi olarak kanıtlandı. Gottlob Frege 1884'ünde Die Grundlagen der Arithmetik (Aritmetiğin Temelleri )[1] ve 1893'te daha resmi olarak kanıtlandı Grundgesetze der Arithmetik BEN (Aritmetiğin Temel Kanunları BEN).[2] Teorem yeniden keşfedildi Crispin Wright 1980'lerin başında ve o zamandan beri önemli çalışmaların odağı haline geldi. Özünde matematik felsefesi olarak bilinir neo-mantık (en azından İskoç Okulu Çeşitlilik).

Genel Bakış

İçinde Aritmetiğin Temelleri (1884) ve daha sonra Aritmetiğin Temel Kanunları (cilt 1, 1893; cilt 2, 1903), Frege, tüm aritmetik yasalarını mantıksal olarak ileri sürdüğü aksiyomlardan türetmeye çalıştı (bkz. mantık ). Bu aksiyomların çoğu onun Begriffsschrift; gerçekten yeni olan tek ilke, Temel Hukuk V[2] (şimdi olarak bilinir sınırsız anlamanın aksiyom şeması ):[3] işlevin "değer aralığı" f(x), işlevin "değer aralığı" ile aynıdır g(x) ancak ve ancak ∀x[f(x) = g(x)]. Bununla birlikte, Temel Kanun V sadece mantıksal bir önerme olmakta başarısız olmakla kalmadı, aynı zamanda ortaya çıkan sistemin tutarsız olduğu da kanıtlandı, çünkü Russell paradoksu.[4]

Frege'deki tutarsızlık Grundgesetze Frege'nin başarısını gölgede bıraktı: göre Edward Zalta, Grundgesetze "geçerli bir kanıtın tüm temel adımlarını içerir ( ikinci dereceden mantık ) tek bir tutarlı ilkeden aritmetiğin temel önermeleri. "[4] Bu başarı, Frege teoremi olarak bilinir hale geldi.[4][5]

Önerme mantığında Frege teoremi

(P(QR))((PQ)(PR))
HayırYeşil keneYHayırHayırYeşil keneYYeşil keneY
HayırYeşil keneYHayırEvetYeşil keneYYeşil keneY
HayırYeşil keneYEvetHayırYeşil keneYYeşil keneY
HayırYeşil keneYEvetEvetYeşil keneYYeşil keneY
EvetYeşil keneYHayırHayırYeşil keneYYeşil keneY
EvetYeşil keneYHayırEvetYeşil keneYYeşil keneY
EvetKırmızı XNEvetHayırYeşil keneYKırmızı XN
EvetYeşil keneYEvetEvetYeşil keneYYeşil keneY
12345678910111213

İçinde önerme mantığı Frege teoremleri buna atıfta bulunur totoloji:

(P → (QR)) → ((PQ) → (PR))

Teorem zaten hayal edilebilecek en zayıf mantıklardan birini, yapıcı sonuçsal hesap. Altında kanıt Brouwer – Heyting – Kolmogorov yorumu okur . Kelimelerle: "Bırak f bir nedeni belirtmek P ima ediyor ki Q ima eder R. Ve izin ver g bir nedeni belirtmek P ima eder Q. Sonra verilen bir f, sonra verildi gsonra bir sebep verildi p için Pikisini de biliyoruz Q tarafından tutulur g ve şu Q ima eder R tarafından tutulur f. Yani R tutar."

doğruluk şeması sağda semantik bir kanıt verir. Tüm olası görevler için yanlış () veya doğru () için P, Q, ve R (sütun 1, 3, 5), her bir alt formül aşağıdaki kurallara göre değerlendirilir: maddi koşullu sonuç ana operatörünün altında gösterilmektedir. Sütun 6, tüm formülün şu şekilde değerlendirildiğini gösterir: doğru her durumda, yani bir totolojidir. Aslında onun öncül (sütun 2) ve sonuç (sütun 10) eşittir.

Notlar

  1. ^ Gottlob Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
  2. ^ a b Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik I, Jena: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 ve 47.
  3. ^ Richard Pettigrew, "Temel küme teorisi", 26 Ocak 2012, s. 2.
  4. ^ a b c Zalta, Edward (2013), "Frege Teoremi ve Aritmetiğin Temelleri", Stanford Felsefe Ansiklopedisi.
  5. ^ Boolos, George (1998). Mantık, Mantık ve Mantık. Richard C. Jeffrey tarafından düzenlendi, giriş John P. Burgess. Cambridge, Kitle: Harvard Üniversitesi Yayınları. s.154. ISBN  9780674537675. OCLC  37509971. Frege'nin tam olarak farkında olabileceği ya da olmayabileceği ve Russell paradoksunun keşfinden beri gözden kaçırılan şaşırtıcı keşfi şuydu: aritmetik, onunki gibi tamamen mantıksal bir sistemde türetilebilir. Begriffsschrift bu tutarlı ilkeden ve yalnızca ondan.

Referanslar