Fueter-Pólya teoremi - Fueter–Pólya theorem - Wikipedia

Fueter-Pólya teoremi, ilk olarak kanıtladı Rudolf Fueter ve George Pólya, tek olduğunu belirtir ikinci dereceden eşleştirme işlevleri Cantor polinomlar.

Giriş

1873'te, Georg Cantor sözde Cantor polinomunun[1]

bir önyargılı haritalama -e Değişkenleri değiştirerek verilen polinom da bir eşleştirme fonksiyonudur.

Fueter, bu özelliğe sahip başka kuadratik polinomların olup olmadığını araştırıyordu ve durumun böyle olmadığını varsayarak sonucuna vardı. . Daha sonra teoremin bu koşulu gerektirmediğini gösteren Pólya'ya yazdı.[2]

Beyan

Eğer iki değişkenli gerçek bir kuadratik polinomdur. bir bijeksiyon -e o zaman öyle

veya

Kanıt

Orijinal kanıt, şaşırtıcı derecede zordur. Lindemann-Weierstrass teoremi aşkınlığını kanıtlamak için sıfır olmayan bir cebirsel sayı için .[3]2002'de M. A. Vsemirnov bu sonucun temel bir kanıtını yayınladı.[4]

Fueter-Pólya varsayımı

Teorem, Cantor polinomunun tek kuadratik paring polinomu olduğunu belirtir. ve . Cantor polinomu, ℕ'nin bijeksiyonu olarak daha yüksek derecede genelleştirilebilirk için ℕ ile k > 2. Varsayım, bunların tek eşleşme polinomları olduğudur.

Daha yüksek boyutlar

Cantor polinomunun daha yüksek boyutlarda genelleştirilmesi şu şekildedir:[5]

Bunların toplamı iki terimli katsayılar bir derece polinomu verir içinde değişkenler. Açık bir sorudur her derece bir bijeksiyon olan polinom polinom değişkenlerinin bir permütasyonu olarak ortaya çıkar .[6]

Referanslar

  1. ^ G. Cantor: Ein Beitrag zur MannigfaltigkeitslehreJ. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), Sayfa 242–258
  2. ^ Rudolf Fueter, Georg Pólya: Gerekçe Abzählung der Gitterpunkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 58 (1923), Sayfa 280–386
  3. ^ Craig Smoryński: Mantıksal Sayı Teorisi I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0Bölüm I.4 ve I.5: Fueter-Pólya Teoremi I / II
  4. ^ M. A. Vsemirnov, Çiftleşme polinomları üzerine Fueter-Pólya teoreminin iki temel kanıtı. Petersburg Math. J. 13 (2002), no. 5, sayfa 705–715. Düzeltme: age. 14 (2003), no. 5, p. 887.
  5. ^ P. Chowla: Her doğal sayıyı tam olarak bir kez temsil eden bazı Polinomlarda, Norske Vid. Selsk. H için. Trondheim (1961), cilt 34, sayfalar 8-9
  6. ^ Craig Smoryński: Mantıksal Sayı Teorisi I, Springer-Verlag 1991, ISBN  3-540-52236-0, Bölüm I.4, Varsayım 4.3