Gorenstein yüzük - Gorenstein ring

İçinde değişmeli cebir, bir Gorenstein yerel yüzük değişmeli Noetherian yerel halka R sonlu hedef boyut olarak R-modül. Birçok eşdeğer koşul vardır, bunlardan bazıları aşağıda listelenmiştir ve genellikle bir Gorenstein yüzüğünün bir anlamda kendi kendine ikilisi olduğunu söyler.

Gorenstein halkaları Grothendieck 1961'deki seminerinde ((Hartshorne 1967 )). İsim, üzerinde çalışılan tekil düzlem eğrilerinin bir dualite özelliğinden gelir. Gorenstein  (1952 ) (Gorenstein yüzüğünün tanımını anlamadığını iddia etmekten hoşlanan kişi^{[kaynak belirtilmeli ]}). Sıfır boyutlu durum, Macaulay (1934). Serre (1961) ve Bas (1963) Gorenstein halkaları konseptini tanıttı.

Frobenius halkaları sıfır boyutlu Gorenstein halkalarının değişmez analoglarıdır. Gorenstein şemaları Gorenstein halkalarının geometrik versiyonlarıdır.

Noetherian yerel halkalar için, aşağıdaki kapanımlar zinciri vardır.

Evrensel katener halkaları ⊃ Cohen-Macaulay yüzükleri ⊃ Gorenstein halkaları ⊃ tam kavşak halkaları ⊃ düzenli yerel halkalar

Tanımlar

Bir Gorenstein yüzük değişmeli bir Noetherian halkasıdır, öyle ki her biri yerelleştirme bir birincil ideal yukarıda tanımlandığı gibi bir Gorenstein yerel halkasıdır. Bir Gorenstein yüzüğü özellikle Cohen – Macaulay.

Bir temel karakterizasyon şudur: Noetherian yerel halkası R nın-nin boyut sıfır (eşdeğer olarak R nın-nin sınırlı uzunluk olarak R-module) Gorenstein'dır ancak ve ancak Hom_R(k, R) olarak 1. boyuta sahiptir k-vektör alanı, nerede k ... kalıntı alanı nın-nin R. Eşdeğer olarak, R basittir kaide olarak R-modül.^[1] Daha genel olarak, bir Noetherian yerel yüzük R Gorenstein, ancak ve ancak bir düzenli sıra a₁,...,a_n maksimal idealinde R öyle ki bölüm halkası R/( a₁,...,a_n) sıfır boyuttaki Gorenstein'dır.

Örneğin, eğer R değişmeli dereceli cebir bir tarla üzerinde k öyle ki R olarak sonlu boyuta sahiptir k-vektör alanı, R = k ⊕ R₁ ⊕ ... ⊕ R_m, sonra R Gorenstein ancak ve ancak tatmin ederse Poincaré ikiliği yani en yüksek not alan parça R_m 1. boyuta ve ürüne sahiptir R_a × R_m−a → R_m bir mükemmel eşleşme her biri için a.^[2]

Gorenstein özelliğinin, derecelendirilmiş halkalar olması gerekmeyen bir dualite türü olarak başka bir yorumu şudur: F, değişmeli F-cebir R olarak sonlu boyut F-vektör uzayı (dolayısıyla bir halka olarak sıfır boyutunun) Gorenstein'dır, ancak ve ancak bir F-doğrusal harita e: R → F simetrik çift doğrusal form (x, y) := e(xy) üzerinde R (bir F-vektör alanı) dejenere olmayan.^[3]

Değişmeli bir Noetherian yerel halkası için (R, m, k) Krull boyutu naşağıdakiler eşdeğerdir:^[4]

• R sonlu hedef boyut olarak R-modül;
• R enjekte edici boyuta sahip n olarak R-modül;
• Ext grubu ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ için ben ≠ n süre ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) cong k;}$
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ bazı ben > n;
• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (k, R) = 0}$ hepsi için ben < n ve ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (k, R) cong k;}$
• R bir nboyutlu Gorenstein yüzüğü.

Bir (mutlaka değişmeli) halka R Gorenstein denirse R hem solda hem de sonlu enjekte boyuta sahiptir R-modül ve bir hak olarak R-modül. Eğer R yerel bir yüzük R yerel bir Gorenstein yüzüğü olduğu söyleniyor.

Örnekler

• Her yerel tam kavşak halkası özellikle her biri düzenli yerel halka, Gorenstein.
• Yüzük R = k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²−xy), tam bir kesişme halkası olmayan 0 boyutlu bir Gorenstein halkasıdır. Daha ayrıntılı olarak: bir temel R olarak k- vektör uzayı şu şekilde verilir: ${ displaystyle {1, x, y, z, z ^ {2} }.}$ R Gorenstein, çünkü toplumun boyutu 1 olarak k- vektör alanı z². Alternatif olarak, şu gözlemlenebilir R Poincaré dualitesini, dereceli bir halka olarak görüldüğünde tatmin eder. x, y, z hepsi aynı derecede. En sonunda. R tam bir kesişim değildir çünkü 3 üreteci ve minimum 5 (3 değil) ilişkisi vardır.

• Yüzük R = k[x,y]/(x², y², xy), Gorenstein halkası olmayan, 0 boyutlu bir Cohen-Macaulay halkasıdır. Daha ayrıntılı olarak: bir temel R olarak k- vektör uzayı şu şekilde verilir: ${ displaystyle {1, x, y }.}$ R Gorenstein değildir çünkü toplumun boyutu 2 (1 değil) olarak k- vektör alanı x ve y.

Özellikleri

• Bir Noetherian yerel yüzük Gorenstein'dır ancak ve ancak tamamlama Gorenstein olduğunu.^[5]

• kanonik modül Gorenstein yerel halkasının R izomorfiktir R. Geometrik terimlerle, standardın ikileme kompleksi Gorenstein şemasının X bir alan üzerinde basitçe hat demeti (−dim (X)); bu hat demetine kanonik paket nın-nin X. Kanonik paketi kullanarak, Serre ikiliği Gorenstein şemaları için aynı formu alır. pürüzsüz durum.

Dereceli halkalar bağlamında R, bir Gorenstein yüzüğünün kanonik modülü R izomorfiktir R bir derece kayma ile.^[6]

• Gorenstein yerel halkası için (R, m, k) boyut n, Grothendieck yerel ikilik aşağıdaki formu alır.^[7] İzin Vermek E(k) ol enjekte gövde kalıntı alanının k olarak R-modül. Ardından, sonlu olarak oluşturulmuş herhangi bir R-modül M ve tam sayı ben, yerel kohomoloji grup ${ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M)}$ çifttir ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n-i} (M, R)}$ anlamda olduğu:

${ displaystyle H_ {m} ^ {i} (M) cong operatorname {Hom} _ {R} ( operatorname {Ext} _ {R} ^ {ni} (M, R), E (k)) .}$

• Stanley sonlu üretilmiş bir değişmeli dereceli cebir için R bir tarla üzerinde k öyle ki R bir integral alan, Gorenstein mülkü yalnızca Cohen-Macaulay mülkü ile birlikte Hilbert serisi

${ displaystyle f (t) = toplam nolimits _ {j} dim _ {k} (R_ {j}) t ^ {j}.}$

Yani, derecelendirilmiş bir alan R Gorenstein, ancak ve ancak Cohen – Macaulay ise ve Hilbert serisi şu anlamda simetriktir:

${ displaystyle f sol ({ tfrac {1} {t}} sağ) = (- 1) ^ {n} t ^ {s} f (t)}$

bir tamsayı için s, nerede n boyutu R.^[8]

• İzin Vermek (R, m, k) bir Noetherian yerel eş boyutlu gömme halkası olmak c, anlamında c = sönük_k(m/m²) - sönük (R). Geometrik terimlerle, bu, bir eş boyut alt şemasının yerel bir halkası için geçerlidir. c düzenli bir düzende. İçin c en fazla 2, Serre bunu gösterdi R Gorenstein, ancak ve ancak bir tam kavşak.^[9] Ayrıca, 3 numaralı eş boyuttaki Gorenstein halkaları için bir yapı teoremi vardır. Pfaffianlar çarpık simetrik bir matrisin Buchsbaum ve Eisenbud.^[10]

Notlar

Referanslar

• Bas, Hyman (1963), "Gorenstein halkalarının her yerde olması üzerine", Mathematische Zeitschrift, 82: 8–28, CiteSeerX  10.1.1.152.1137, doi:10.1007 / BF01112819, ISSN  0025-5874, BAY  0153708
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay yüzükleri, İleri Matematikte Cambridge Çalışmaları, 39, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-41068-7, BAY  1251956
• Eisenbud, David (1995), Cebirsel Geometriye Yönelik Değişmeli Cebir, Matematikte Lisansüstü Metinler, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, BAY  1322960
• Gorenstein, Daniel (1952), "Eş düzlem eğrilerinin aritmetik teorisi", Amerikan Matematik Derneği İşlemleri, 72: 414–436, doi:10.2307/1990710, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990710, BAY  0049591
• Hartshorne, Robin (1967), Yerel Kohomoloji. A. Grothendieck tarafından verilen bir seminer, Harvard Üniversitesi, Sonbahar 1961Matematik Ders Notları, 41, Berlin-New York: Springer-Verlag, BAY  0224620
• "Gorenstein yüzüğü", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın, 2001 [1994]
• Huneke, Craig (1999), "Hyman Bass ve her yerde: Gorenstein halkaları", Cebir, K-Teorisi, Gruplar ve Eğitim, Amerikan Matematik Derneği, s. 55–78, arXiv:matematik / 0209199, doi:10.1090 / conm / 243/03686, BAY  1732040
• Lam, Tsit Yuen (1999), Modüller ve halkalar üzerine derslerMatematik Yüksek Lisans Metinleri, 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, BAY  1653294
• Macaulay, Francis Sowerby (1934), "Modern cebir ve polinom idealleri", Cambridge Philosophical Society'nin Matematiksel İşlemleri, 30 (1): 27–46, Bibcode:1934PCPS ... 30 ... 27M, doi:10.1017 / S0305004100012354, ISSN  0305-0041, JFM  60.0096.02
• Matsumura, Hideyuki (1989), Değişmeli Halka Teorisi, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2. baskı), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6, BAY  0879273
• Serre, Jean-Pierre (1961), Sur les modülleri projeleri, Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, 14, s. 1–16
• Stanley, Richard P. (1978), "Dereceli cebirlerin Hilbert fonksiyonları", Matematikteki Gelişmeler, 28: 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, BAY  0485835