Hansens sorunu - Hansens problem - Wikipedia

HansenPblm1.png

Hansen sorunu düzlemsel bir problemdir ölçme astronomun adını taşıyan Peter Andreas Hansen (1795–1874), Danimarka'nın jeodezik araştırmasında çalışan. Bilinen iki nokta var Bir ve Bve iki bilinmeyen nokta P1 ve P2. Nereden P1 ve P2 bir gözlemci, görüş hatlarının diğer üç noktanın her birine yaptığı açıları ölçer. Sorun, konumlarını bulmaktır. P1 ve P2. Şekle bakın; ölçülen açılar (α1β1α2β2).

Bilinmeyen noktalarda yapılan açıların gözlemlenmesini içerdiğinden, problem bir örnektir. rezeksiyon (kesişme yerine).

Çözüm yöntemine genel bakış

Aşağıdaki açıları tanımlayın: γ = P1AP2, δ = P1BP2, φ = P2AB, ψ = P1BAİlk adım olarak çözeceğiz φ ve ψBu iki bilinmeyen açının toplamı, toplamına eşittir. β1 ve β2, denklemi verir

İkinci bir denklem aşağıdaki gibi daha zahmetli bir şekilde bulunabilir. sinüs kanunu verim

ve

Bunları birleştirerek elde ederiz

Diğer tarafta tamamen benzer akıl yürütme sonuç verir

Bu iki veriyi eşitlemek

Bilinen bir trigonometrik kimlik bu sinüs oranı, bir açı farkının tanjantı olarak ifade edilebilir:

İhtiyacımız olan ikinci denklem bu. İki bilinmeyen için iki denklemi çözdüğümüzde ve için yukarıdaki iki ifadeden birini kullanabiliriz bulmak P1P2 dan beri AB bilinen. Daha sonra sinüs yasasını kullanarak diğer tüm bölümleri bulabiliriz.[1]

Çözüm algoritması

Bize dört açı veriliyor (α1β1α2β2) ve mesafe AB. Hesaplama şu şekilde ilerler:

  • Hesaplamak
  • Hesaplamak
  • İzin Vermek ve daha sonra
  • Hesaplamak
Veya eşdeğer olarak
Bu kesirlerden birinin sıfıra yakın bir paydası varsa diğerini kullanın.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Udo Hebisch: Ebene und Sphaerische Trigonometrie, Kapitel 1, Beispiel 4 (2005, 2006)[1]