Harmonik Maass formu - Harmonic Maass form - Wikipedia

İçinde matematik, bir zayıf Maass formu düzgün bir işlev üst yarı düzlemde, bir modüler form eylemi altında modüler grup, olmak özfonksiyon karşılık gelen hiperbolik Laplace operatörü ve zirvelerde en fazla doğrusal üstel büyümeye sahip. Özdeğer Laplacian'ın altında sıfır, o zaman denir harmonik zayıf Maass formuveya kısaca a harmonik Maass formu.

Başlangıç ​​çizgisinde orta derecede büyümeye sahip zayıf bir Maass formu, klasik Maass dalga formu.

Harmonik Maass formlarının Fourier açılımları genellikle ilginç kombinatoryal, aritmetik veya geometrik üretme fonksiyonlarını kodlar. Harmonik Maass formlarının düzenli teta yükseltmeleri oluşturmak için kullanılabilir Arakelov Ortogonal üzerinde özel bölenler için yeşil fonksiyonlar Shimura çeşitleri.

Tanım

Bir karmaşık değerli pürüzsüz işlev üzerinde üst yarı düzlem H = {zC:  Ben (z) > 0}  denir zayıf Maass formu integral ağırlık k (grup için SL (2, Z)) aşağıdaki üç koşulu karşılıyorsa:

(1) Her matris için işlev modüler dönüşüm yasasını karşılar
(2) ağırlığın özfonksiyonudur k hiperbolik Laplacian
nerede
(3) zirvede en fazla doğrusal üstel büyümeye sahiptir, yani sabit bir C > 0 öyle ki f (z) = Ö(eCy) gibi

Eğer 0 öz değeri altında zayıf bir Maass formudur yani, eğer , sonra denir harmonik zayıf Maass formuveya kısaca a harmonik Maass formu.

Temel özellikler

Her harmonik Maass formu ağırlık formun Fourier açılımına sahiptir

nerede q = e2πiz, ve tam sayıdır Dahası,

gösterir eksik gama işlevi (ne zaman uygun şekilde yorumlanmalıdır? n=0 ). İlk zirveye holomorfik kısımve ikinci özetin adı holomorf olmayan kısım nın-nin

Karmaşık bir anti-lineer diferansiyel operatör var tarafından tanımlandı

Dan beri Harmonik bir Maass formunun görüntüsü zayıf bir şekilde holomorftur. Bu nedenle vektör uzayından bir harita tanımlar Harmonik Maass ağırlık formlarının uzaya zayıf holomorfik modüler ağırlık formlarının Kanıtlandı (Bruinier ve Funke 2004 ) (rasgele ağırlıklar, çarpan sistemleri ve uygunluk alt grupları için) bu haritanın örtücü olduğu. Sonuç olarak, kesin bir dizi var

modüler formların cebirsel teorisine bir bağlantı sağlamak. Önemli bir alt uzay uzay mı harmonik Maass formlarının .

Harmonik Maass formları, hat demeti modüler ağırlık formlarının ile donatılmış Petersson modüler eğri üzerinde metrik olursa, bu diferansiyel operatör bir bileşimi olarak görülebilir. Hodge yıldız operatörü ve antiholomorfik diferansiyel. Harmonik Maass formları kavramı, doğal olarak, keyfi uygun alt gruplara ve (skaler ve vektör değerli) çarpan sistemlerine genelleşir.

Örnekler

  • Her zayıf holomorf modüler form, harmonik bir Maass formudur.
  • Holomorfik olmayan Eisenstein serisi
Ağırlık 2 harmonik Maass ağırlığı 2'dir.
  • Zagier's Eisenstein serisi E3/2 ağırlık 3/2 (Zagier 1975 ), 3/2 ağırlığının harmonik bir Maass şeklidir (grup için Γ0(4)). Altındaki görüntüsü Jacobi teta fonksiyonunun sıfır olmayan bir katıdır

Tarih

Harmonik Maass formlarının yukarıdaki soyut tanımı, temel özelliklerinin sistematik bir araştırmasıyla birlikte ilk olarak Bruinier ve Funke tarafından verilmiştir (Bruinier ve Funke 2004 ). Ancak Eisenstein serisi ve Poincaré serisi gibi birçok örnek daha önceden biliniyordu. Bağımsız, Zwegers Harmonik Maass formlarına da bağlanan sahte modüler formlar teorisi geliştirdi (Zwegers 2002 ).

Entegre ağırlık harmonik Maass formlarının cebirsel teorisi Katz Candelori tarafından geliştirilmiştir (Candelori 2014 ).

Çalışmalar alıntı

  • Alfes, Claudia; Griffin, Michael; Ono, Ken; Rolen, Larry (2015), "Weierstrass mock modüler formlar ve eliptik eğriler", Sayı Teorisinde Araştırma, 1:24
  • Bruinier, Jan Hendrik; Funke, Jens (2004), "İki geometrik teta kaldırmasında", Duke Matematiksel Dergisi, 125 (1): 45–90, arXiv:matematik / 0212286, doi:10.1215 / S0012-7094-04-12513-8, ISSN  0012-7094, BAY  2097357
  • Candelori, Luca (2014), "Harmonik zayıf Maass formları: geometrik bir yaklaşım", Mathematische Annalen, 360 (1–2): 489–517, doi:10.1007 / s00208-014-1043-5
  • Duke, William; İmamoğlu, Özlem; Tóth, Árpad (2011), "j-fonksiyonunun döngü integralleri ve alay modüler formlar", Matematik Yıllıkları İkinci Seri, 173 (2): 947–981, doi:10.4007 / yıllıklar.2011.173.2.8
  • Fay, John (1977), "Bir Fuchsian grubu için çözücünün Fourier katsayıları", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 294: 143–203
  • Hejhal, Dennis (1983), PSL (2, R) için Selberg İzleme FormülüMatematik Ders Notları, 1001, Springer-Verlag.
  • Kudla, Steve; Rapoport, Michael; Yang, Tonghai (1999), "Bir Eisenstein serisinin bir ağırlığı üzerine", Uluslararası Matematik Araştırma Bildirimleri, 1999 (7): 347–385, doi:10.1155 / S1073792899000185
  • Ono Ken (2009), Bir ustanın vizyonlarını ortaya çıkarmak: harmonik Maass formları ve sayı teorisi Matematikteki güncel gelişmeler, 2008, Int. Basın, Somerville, s. 347–454
  • Zagier, Don (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Rendus de l'Académie des Sciences, Série A'dan oluşur (Fransızcada), 281: 883–886
  • Zwegers, S.P. (2002), Mock Theta Fonksiyonları (Doktora tezi), Utrecht Üniversitesi, ISBN  978-90-393-3155-2