İdeal norm - Ideal norm

İçinde değişmeli cebir, idealin normu bir genellemedir norm içindeki bir öğenin alan uzantısı. Özellikle önemlidir sayı teorisi çünkü bir ideal karmaşık numara halkası açısından ideal daha az karmaşık yüzük. Daha az karmaşık olan numara halkası, tamsayılar halkası, Z, sonra sıfırdan farklı bir idealin normu ben bir sayı halkasının R sadece sonlu olanın boyutu bölüm halkası R/ben.

Bağıl norm

İzin Vermek Bir olmak Dedekind alanı ile kesirler alanı K ve entegre kapanış nın-nin B sonlu olarak ayrılabilir uzantı L nın-nin K. (bu şu anlama gelir B aynı zamanda bir Dedekind alanıdır.) ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {A}}$ ve ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {B}}$ ol ideal gruplar nın-nin Bir ve Bsırasıyla (yani sıfır olmayan kümeler kesirli idealler.) Geliştirdiği tekniği takip ederek Jean-Pierre Serre, norm haritası

${ displaystyle N_ {B / A} iki nokta üst üste { mathcal {I}} _ {B} - { mathcal {I}} _ {A}}$

eşsiz mi grup homomorfizmi bu tatmin edici

${ displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {q}}) = { mathfrak {p}} ^ {[B / { mathfrak {q}}: A / { mathfrak {p}}]} }$

sıfır olmayan herkes için ana idealler ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ nın-nin B, nerede ${ displaystyle { mathfrak {p}} = { mathfrak {q}} cap A}$ ... birincil ideal nın-nin Bir aşağıda uzanmak ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$.

Alternatif olarak, herhangi biri için ${ mathcal {I}} _ {B}} içinde { displaystyle { mathfrak {b}}$ eşdeğer olarak tanımlanabilir ${ displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {b}})}$ olmak kesirli ideal nın-nin Bir set tarafından oluşturuldu ${ displaystyle {N_ {L / K} (x) | x { mathfrak {b}} }} içinde$ nın-nin alan normları öğelerinin B.^[1]

İçin ${ mathcal {I}} _ {A}} içinde { displaystyle { mathfrak {a}}$, birinde var ${ displaystyle N_ {B / A} ({ mathfrak {a}} B) = { mathfrak {a}} ^ {n}}$, nerede ${ displaystyle n = [L: K]}$.

İdeal norm temel ideal dolayısıyla bir elemanın alan normuyla uyumludur:

${ displaystyle N_ {B / A} (xB) = N_ {L / K} (x) A.}$^[2]

İzin Vermek ${ displaystyle L / K}$ olmak Galois uzantısı nın-nin sayı alanları ile tamsayı halkaları ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K} subset { mathcal {O}} _ {L}}$.

Daha sonra önceki şey ile uygulanır ${ displaystyle A = { mathcal {O}} _ {K}, B = { mathcal {O}} _ {L}}$ve herhangi biri için ${ mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {L}}} içinde { displaystyle { mathfrak {b}}$ sahibiz

${ displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / { mathcal {O}} _ {K}} ({ mathfrak {b}}) = K cap prod _ { sigma operatöradı {Gal} (L / K)} sigma ({ mathfrak {b}}),}$

hangisinin bir unsuru ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {K}}}$.

Gösterim ${ displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / { mathcal {O}} _ {K}}}$ bazen kısaltılır ${ displaystyle N_ {L / K}}$, bir gösterimin kötüye kullanılması aynı zamanda yazı ile uyumlu ${ displaystyle N_ {L / K}}$ yukarıda belirtildiği gibi alan normu için.

Durumda ${ displaystyle K = mathbb {Q}}$pozitif kullanmak mantıklı rasyonel sayılar aralığı olarak ${ displaystyle N _ {{ mathcal {O}} _ {L} / mathbb {Z}} ,}$ dan beri ${ displaystyle mathbb {Z}}$ önemsiz ideal sınıf grubu ve birim grubu ${ displaystyle { pm 1 }}$dolayısıyla sıfır olmayan her biri kesirli ideal nın-nin ${ displaystyle mathbb {Z}}$ benzersiz bir şekilde belirlenmiş bir pozitif tarafından oluşturulur rasyonel sayı Bu sözleşmeye göre, göreceli norm ${ displaystyle L}$ aşağı ${ displaystyle K = mathbb {Q}}$ ile çakışıyor mutlak norm aşağıda tanımlanmıştır.

Mutlak norm

İzin Vermek ${ displaystyle L}$ olmak sayı alanı ile tamsayılar halkası ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$, ve ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ sıfır olmayan (integral) ideal nın-nin ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$.

Mutlak normu ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ dır-dir

${ displaystyle N ({ mathfrak {a}}): = sol [{ mathcal {O}} _ {L}: { mathfrak {a}} sağ] = sol | { mathcal {O} } _ {L} / { mathfrak {a}} sağ |. ,}$

Geleneksel olarak, sıfır idealin normu sıfır olarak alınır.

Eğer ${ displaystyle { mathfrak {a}} = (a)}$ bir temel ideal, sonra

${ displaystyle N ({ mathfrak {a}}) = sol | N_ {L / mathbb {Q}} (a) sağ |}$.^[3]

Norm şudur tamamen çarpımsal: Eğer ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ idealler ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$, sonra

${ displaystyle N ({ mathfrak {a}} cdot { mathfrak {b}}) = N ({ mathfrak {a}}) N ({ mathfrak {b}})}$.^[3]

Böylece, mutlak norm benzersiz bir şekilde bir grup homomorfizmi

${ displaystyle N iki nokta üst üste { mathcal {I}} _ {{ mathcal {O}} _ {L}} to mathbb {Q} _ {> 0} ^ { times}}$

sıfır olmayanların tümü için tanımlı kesirli idealler nın-nin ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$.

Bir norm ideal ${ displaystyle { mathfrak {a}}}$ içerdiği sıfır olmayan en küçük elemanın alan normuna bir üst sınır vermek için kullanılabilir:

her zaman sıfırdan farklıdır ${ mathfrak {a}}} içinde { displaystyle a$ hangisi için

${ displaystyle sol | N_ {L / mathbb {Q}} (a) sağ | leq sol ({ frac {2} { pi}} sağ) ^ {s} { sqrt { sol | Delta _ {L} sağ |}} N ({ mathfrak {a}}),}$

nerede

• ${ displaystyle Delta _ {L}}$ ... ayrımcı nın-nin ${ displaystyle L}$ ve
• ${ displaystyle s}$ (gerçek olmayan) kompleks çiftlerinin sayısıdır Gömme nın-nin L içine ${ displaystyle mathbb {C}}$ (karmaşık yerlerin sayısı L).^[4]

Ayrıca bakınız

• Alan normu
• Dedekind zeta işlevi

Referanslar