Jacobson-Morozov teoremi - Jacobson–Morozov theorem - Wikipedia

Matematikte Jacobson-Morozov teoremi iddiası üstelsıfır yarı basit öğeler Lie cebiri uzatılabilir sl2üçlü. Teorem adını almıştır Jacobson 1935, Morozov 1942.

Beyan

Jacobson-Morozov'un ifadesi aşağıdaki ön kavramlara dayanmaktadır:2-üçlü yarı basit Lie cebiri (bu makale boyunca, bir alan üzerinden karakteristik sıfır ) bir homomorfizm Lie cebirlerinin . Eşdeğer olarak, bu bir üçlü içindeki elementlerin ilişkileri tatmin etmek

Bir element nilpotent denir, eğer endomorfizm (olarak bilinir ek temsil ) bir nilpotent endomorfizm. Herhangi bir sl için temel bir gerçektir2üçlü , e üstelsıfır olmalıdır. Jacobson-Morozov teoremi, tersine, üstelsıfır olmayan herhangi bir elemanın sl'ye uzatılabilir2-üçlü.[1][2] İçin , sl2- Bu şekilde elde edilen üçlüler, Chriss ve Ginzburg (1997, s. 184).

Teorem ayrıca şu şekilde ifade edilebilir: doğrusal cebirsel gruplar (yine tarlada k karakteristik sıfır): herhangi bir morfizm (cebirsel grupların) katkı grubu bir indirgeyici grup H yerleştirme yoluyla faktörler

Ayrıca, bu tür iki çarpanlara ayırma

ile konjuge k-noktası H.

Genelleme

Yukarıda formüle edildiği gibi teoremin geniş kapsamlı bir genellemesi şu şekilde ifade edilebilir: indirgeyici grupların morfizmlerin olduğu tüm doğrusal cebirsel gruplara dahil edilmesi her iki kategoride de konjugasyona aşağıdaki öğeler tarafından alınır , kabul ediyor sol ek, sözde indirgeme yanlısı zarf. Bu sol ek, katkı grubunu gönderir -e (indirgeme yanlısı olanın aksine yarı basittir), böylece Jacobson-Morozov'un yukarıdaki biçimini geri kazanır. Bu genelleştirilmiş Jacobson-Morozov teoremi tarafından kanıtlanmıştır André ve Kahn (2002, Teorem 19.3.1) ile ilgili yöntemlere başvurarak Tannakian kategorileri ve tarafından O'Sullivan (2010) daha geometrik yöntemlerle.

Referanslar

  1. ^ Bourbaki (2007, Ch. VIII, §11, Prop.2)
  2. ^ Jacobson (1979), Ch. III, §11, Teorem 17)
  • André, Yves; Kahn, Bruno (2002), "Nilpotence, radicaux et yapıları monoïdales", Rend. Semin. Mat. Üniv. Padova, 108: 107–291, arXiv:matematik / 0203273, Bibcode:2002math ...... 3273A, BAY  1956434
  • Chriss, Neil; Ginzburg Victor (1997), Temsil teorisi ve karmaşık geometri, Birkhäuser, ISBN  0-8176-3792-3, BAY  1433132
  • Bourbaki Nicolas (2007), Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 ve 8Springer, ISBN  9783540339779
  • Jacobson, Nathan (1935), "Lie cebirleri teorisinde rasyonel yöntemler", Matematik Yıllıklarıİkinci Seri, 36 (4): 875–881, doi:10.2307/1968593, JSTOR  1968593, BAY  1503258
  • Jacobson, Nathan (1979), Lie cebirleri (Orijinal baskı 1962 Cumhuriyet), Dover Publications, Inc., New York, ISBN  0-486-63832-4
  • Morozov, V. V. (1942), "Yarı basit bir Lie cebirinde üstelsıfır bir eleman üzerine", C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 36: 83–86, BAY  0007750
  • O'Sullivan, Peter (2010), "Genelleştirilmiş Jacobson-Morosov teoremi", Amerikan Matematik Derneği'nin Anıları, 207 (973), doi:10.1090 / s0065-9266-10-00603-4, ISBN  978-0-8218-4895-1