Mertens işlevi - Mertens function

Bu makale için ek alıntılara ihtiyaç var doğrulama. İlgili tartışma şurada bulunabilir: konuşma sayfası. Lütfen yardım et bu makaleyi geliştir tarafından güvenilir kaynaklara alıntılar eklemek. Kaynaksız materyale itiraz edilebilir ve kaldırılabilir. Kaynakları bulun: "Mertens işlevi"  – Haberler  · gazeteler  · kitabın  · akademisyen  · JSTOR (Aralık 2009) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Mertens işlevi n = 10.000

Mertens işlevi n = 10.000.000

İçinde sayı teorisi, Mertens işlevi tüm pozitifler için tanımlanmıştır tamsayılar n gibi

${ displaystyle M (n) = toplamı _ {k = 1} ^ {n} mu (k)}$

μ (k) nerede Möbius işlevi. İşlev onuruna adlandırılmıştır Franz Mertens. Bu tanım olumluya uzatılabilir gerçek sayılar aşağıdaki gibi:

${ displaystyle M (x) = M ( lfloor x rfloor).}$

Daha az resmi olarak, ${ displaystyle M (x)}$ sayısı karesiz tamsayılar kadar x çift ​​sayıda asal çarpana sahip olanlar, eksi tek sayıya sahip olanların sayısı.

İlk 143 M(n): (sıra A002321 içinde OEIS )

Mertens işlevi, hem ortalama hem de tepe değerde pozitif ve negatif yönlerde yavaşça büyür, görünüşte kaotik bir şekilde salınarak sıfırdan geçer. n değerlere sahip

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (sıra A028442 içinde OEIS ).

Möbius işlevi yalnızca −1, 0 ve +1 değerlerini aldığından, Mertens işlevi yavaş hareket eder ve x öyle ki |M(x)| > x. Mertens varsayımı daha ileri gitti, olmayacağını belirterek x Mertens işlevinin mutlak değerinin karekökünü aştığı x. Mertens varsayımının yanlış olduğu 1985 yılında Andrew Odlyzko ve Herman te Riele. Ancak Riemann hipotezi büyüme konusunda daha zayıf bir varsayıma eşdeğerdir M(x), yani M(x) = Ö(x^{1/2 + ε}). İçin yüksek değerler M(x) en az olduğu kadar hızlı büyümek ${ displaystyle { sqrt {x}}}$Bu, büyüme hızına oldukça sıkı bir sınır koyuyor. Buraya, Ö ifade eder Büyük O gösterimi.

Gerçek büyüme oranı M(x) bilinmiyor. Steve Gonek'in yayınlanmamış bir varsayımı şunu belirtir:

${ displaystyle 0 < limsup _ {x ile infty} { frac {| M (x) |} {{ sqrt {x}} ( log log log x) ^ {5/4}} } < infty.}$

Bu varsayıma yönelik olasılıksal kanıt Nathan Ng tarafından verilmektedir.^[1] Özellikle, Ng, işlevin ${ displaystyle e ^ {- y / 2} M (e ^ {y})}$ sınırlayıcı bir dağılıma sahiptir ${ displaystyle nu}$ açık ${ displaystyle mathbb {R}}$. Yani, tüm sınırlı Sürekli Lipschitz fonksiyonlar ${ displaystyle f}$ gerçekte biz buna sahibiz

${ displaystyle lim _ {Y rightarrow infty} { frac {1} {Y}} int _ {0} ^ {Y} f sol (e ^ {- y / 2} M (e ^ { y}) sağ) dy = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) d nu (x).}$

Beyanlar

İntegral olarak

Bu bölüm olabilir gerek Temizlemek Wikipedia'yla tanışmak için kalite standartları. Hayır temizleme nedeni belirtildi. Lütfen yardım et bu bölümü geliştir Eğer yapabilirsen. (Aralık 2009) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Kullanmak Euler ürünü biri onu bulur

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = prod _ {p} (1-p ^ {- s}) = toplam _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}}}$

nerede ${ displaystyle zeta (s)}$ ... Riemann zeta işlevi ve ürün prime alınır. Sonra bunu kullanarak Dirichlet serisi ile Perron formülü, elde edilen:

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {ci infty} ^ {c + i infty} { frac {x ^ {s}} {s zeta (s)} } , ds = M (x)}$

nerede c > 1.

Tersine, bir Mellin dönüşümü

${ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = s int _ {1} ^ { infty} { frac {M (x)} {x ^ {s + 1}}} , dx}$

hangisi için geçerli ${ displaystyle mathrm {Re} (ler)> 1}$.

Mertens'in kendisi tarafından verilen ikinciyi içeren ilginç bir ilişki Chebyshev işlevi dır-dir

${ displaystyle psi (x) = M sol ({ frac {x} {2}} sağ) günlük (2) + M sol ({ frac {x} {3}} sağ) log (3) + M left ({ frac {x} {4}} sağ) log (4) + cdots.}$

Riemann zeta fonksiyonunun birden fazla önemsiz olmayan sıfıra sahip olmadığı varsayıldığında, birinin "tam formülü" kalıntı teoremi:

${ displaystyle M (x) = toplamı _ { rho} { frac {x ^ { rho}} { rho zeta '( rho)}} - 2+ toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} (2 pi) ^ {2n}} {(2n)! n zeta (2n + 1) x ^ {2n}}}.}$

Weyl Mertens fonksiyonunun yaklaşık fonksiyonel diferansiyel denklemi karşıladığını varsaydı

${ displaystyle { frac {y (x)} {2}} - toplamı _ {r = 1} ^ {N} { frac {B_ {2r}} {(2r)!}} D_ {t} ^ {2r-1} y left ({ frac {x} {t + 1}} right) + x int _ {0} ^ {x} { frac {y (u)} {u ^ {2 }}} , du = x ^ {- 1} H ( log x)}$

nerede H(x) Heaviside adım işlevi, B vardır Bernoulli sayıları ve ilgili tüm türevler t değerlendirilir t = 0.

Formda ayrıca Möbius fonksiyonu üzerinden bir toplamı ve Riemann zeta fonksiyonunun sıfırlarını içeren bir izleme formülü vardır.

${ displaystyle toplamı _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} { sqrt {n}}} g ( log n) = toplamı _ { gamma} { frac {h ( gamma)} { zeta '(1/2 + i gamma)}} + 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2 pi) ^ {2n}} {(2n)! Zeta (2n + 1)}} int _ {- infty} ^ { infty} g (x) e ^ {- x (2n + 1 / 2)} , dx,}$

sağ taraftaki ilk toplamın Riemann zeta fonksiyonunun önemsiz olmayan sıfırları üzerinden alındığı ve (g,h) Fourier dönüşümü ile ilişkilidir, öyle ki

${ displaystyle 2 pi g (x) = int _ {- infty} ^ { infty} h (u) e ^ {iux} , du.}$

Farey dizilerinin toplamı olarak

Mertens işlevi için başka bir formül ise

${ displaystyle M (n) = - 1+ toplamı _ {a { mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 pi ia}}$ nerede ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ ... Farey dizisi düzenin n.

Bu formül, ispatında kullanılır. Franel-Landau teoremi.^[2]

Belirleyici olarak

M(n) belirleyici of n × n Redheffer matrisi, bir (0,1) matris içindea_ij 1 ise j 1 veya ben böler j.

N-boyutlu hiperboloidlerin altındaki noktaların toplamı olarak^{[kaynak belirtilmeli ]}

${ displaystyle M (x) = 1- toplam _ {2 leq a leq x} 1 + { underet {ab leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2}}} 1 - { underet {abc leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2} sum _ {c geq 2}}} 1 + { underet {abcd leq x} { sum _ {a geq 2} sum _ {b geq 2} sum _ {c geq 2} sum _ {d geq 2}}} 1- cdots}$

Mertens işlevini genişleten bu formülasyon, aşağıdakiler dikkate alınarak elde edilen asimptotik sınırları önerir. Piltz bölen sorunu genelleştiren Dirichlet bölen sorunu bilgi işlem asimptotik tahminler toplayıcı işlevi için bölen işlevi.

Hesaplama

Daha önce bahsedilen yöntemlerin hiçbiri Mertens işlevini hesaplamak için pratik algoritmalara yol açmaz. Asal sayımda kullanılanlara benzer elek yöntemlerini kullanarak Mertens işlevi, artan bir aralığa kadar tüm tamsayılar için hesaplanmıştır. x.^[3][4]

Mertens işlevi, tüm tam sayı değerleri için x hesaplanabilir O (x günlük günlük x) zaman. Kombinatoryal tabanlı algoritmalar, yalıtılmış değerleri hesaplayabilir M (x) içinde Öküz^2/3(günlük günlüğü x)^1/3) zaman ve daha hızlı kombinatoryal olmayan yöntemler de bilinmektedir.^[5]

Görmek OEIS: A084237 değerleri için M(x) 10'un katlarında.

Bilinen üst sınırlar

Ng, Riemann hipotezi (RH) eşdeğerdir

${ displaystyle M (x) = O sol ({ sqrt {x}} exp sol ({ frac {C cdot log x} { log log x}} sağ) sağ), }$

bazı pozitif sabitler için ${ displaystyle C> 0}$. Diğer üst sınırlar Maier, Montgomery ve Soundarajan tarafından RH'yi varsayarak elde edilmiştir.

${ displaystyle { başlar {hizalı} | M (x) | & ll { sqrt {x}} exp left (C_ {2} cdot ( log x) ^ { frac {39} {61 }} right) | M (x) | & ll { sqrt {x}} exp left ({ sqrt { log x}} ( log log x) ^ {14} right ). end {hizalı}}}$

Diğer açık üst sınırlar Kotnik tarafından şu şekilde verilmiştir:

${ displaystyle { başlar {hizalı} | M (x) | & <{ frac {x} {4345}}, { text {for}} x> 2160535 | M (x) | & <{ frac {0.58782 cdot x} { log ^ {11/9} (x)}}, { text {for}} x> 685. end {hizalı}}}$

Ayrıca bakınız

• Perron formülü
• Liouville'in işlevi

Notlar

Referanslar

• Edwards, Harold (1974). Riemann'ın Zeta Fonksiyonu. Mineola, New York: Dover. ISBN  0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). ""Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich ". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
• Odlyzko, A. M.; te Riele, Herman (1985). "Mertens Varsayımının Çürütülmesi" (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
• Weisstein, Eric W. "Mertens işlevi". MathWorld.
• Sloane, N.J.A. (ed.). "Dizi A002321 (Mertens'in işlevi)". Tam Sayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi. OEIS Vakfı.
• Deléglise, M. ve Rivat, J. "Möbius Fonksiyonunun Toplamının Hesaplanması." Deney. Matematik. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Hurst, Greg (2016). "Mertens Fonksiyonunun Hesaplamaları ve Mertens Varsayımındaki İyileştirilmiş Sınırlar". arXiv:1610.08551 [math.NT ].
• Nathan Ng, "Möbius fonksiyonunun toplama fonksiyonunun dağılımı", Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf