Süreklilik yöntemi - Method of continuity

İçinde matematik nın-nin Banach uzayları, süreklilik yöntemi birinin tersinirliğini çıkarmak için yeterli koşulları sağlar sınırlı doğrusal operatör başka bir ilgili operatörden.

Formülasyon

İzin Vermek B olmak Banach alanı, V a normlu vektör uzayı, ve ${displaystyle (L_ {t}) _ {tin [0,1]}}$ a norm sürekli sınırlı doğrusal operatörler ailesi B içine V. Bir sabit olduğunu varsayalım C öyle ki her biri için ${ekran stili teneke [0,1]}$ ve hepsi ${displaystyle xin B}$

${displaystyle || x || _ {B} leq C || L_ {t} (x) || _ {V}.}$

Sonra ${displaystyle L_ {0}}$ ancak ve ancak ${displaystyle L_ {1}}$ aynı zamanda kuşatıcıdır.

Başvurular

Süreklilik yöntemi ile birlikte kullanılır önceden tahminler uygun düzenli çözümlerin varlığını kanıtlamak için eliptik kısmi diferansiyel denklemler.

Kanıt

Varsayıyoruz ki ${displaystyle L_ {0}}$ örten ve bunu göster ${displaystyle L_ {1}}$ aynı zamanda kuşatıcıdır.

[0,1] aralığını alt bölümlere ayırdığımızda şunu varsayabiliriz: ${displaystyle || L_ {0} -L_ {1} || leq 1 / (3C)}$. Dahası, sürekliliği ${displaystyle L_ {0}}$ ima ediyor ki V izomorfiktir B ve dolayısıyla bir Banach alanı. Hipotez şunu ima eder: ${displaystyle L_ {1} (B) subseteq V}$ kapalı bir alt uzaydır.

Varsayalım ki ${displaystyle L_ {1} (B) subseteq V}$ uygun bir alt uzaydır. Riesz lemması var olduğunu gösterir ${displaystyle yin V}$ öyle ki ${displaystyle || y || _ {V} leq 1}$ ve ${displaystyle mathrm {dist} (y, L_ {1} (B))> 2/3}$. Şimdi ${displaystyle y = L_ {0} (x)}$ bazı ${displaystyle xin B}$ ve ${displaystyle || x || _ {B} leq C || y || _ {V}}$ hipotez ile. Bu nedenle

${displaystyle || y-L_ {1} (x) || _ {V} = || (L_ {0} -L_ {1}) (x) || _ {V} leq || L_ {0} - L_ {1} |||| x || _ {B} leq 1/3,}$

bu bir çelişki ${displaystyle L_ {1} (x) in L_ {1} (B)}$.

Ayrıca bakınız

• Schauder tahminleri

Kaynaklar

• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), İkinci Dereceden Eliptik Kısmi Diferansiyel Denklemler, New York: Springer, ISBN  3-540-41160-7