Normal değişmez - Normal invariant

Bu makale şunları içerir: referans listesi, ilgili okuma veya Dış bağlantılar, ancak kaynakları belirsizliğini koruyor çünkü eksik satır içi alıntılar. Lütfen yardım edin geliştirmek bu makale tanıtım daha kesin alıntılar. (Haziran 2020) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Matematikte bir normal harita bir kavramdır geometrik topoloji Nedeniyle William Browder hangi temel öneme sahip ameliyat teorisi. Verilen bir Poincaré kompleksi X (daha geometrik olarak a Poincaré alanı ), normal bir harita X boşluğa, kabaca konuşursak, kapalı bir manifoldun homotopi-teorik küresel yapısının bir kısmını bahşeder. Özellikle, X için iyi bir aday var kararlı normal paket ve bir Thom bir manifolddan bir harita olmasına eşdeğer olan daraltma haritası M -e X temel sınıfların eşleştirilmesi ve normal paket bilgilerinin korunması. Eğer boyutu X dır-dir ${displaystyle geq}$ 5 O zaman sadece cebirsel topoloji var ameliyat tıkanıklığı Nedeniyle C. T. C. Duvar -e X aslında olmak homotopi eşdeğeri kapalı bir manifolda. Normal haritalar, aynı zamanda, bir homotopi türü içindeki çok katlı yapıların benzersizliğinin incelenmesi için de geçerlidir. Sergei Novikov.

kobordizm normal harita sınıfları X arandı normal değişmezler. Manifoldların kategorisine bağlı olarak (türevlenebilir, parçalı-doğrusal veya topolojik), benzer şekilde tanımlanmış, ancak eşitsiz, normal haritalar ve normal değişmezler kavramları vardır.

Gerçekleştirmek mümkün ameliyat normal haritalarda, etki alanı manifoldunda ameliyat ve haritanın korunması anlamına gelir. Normal haritalarda ameliyat, kişinin göreceli homotopi gruplarındaki öğeleri gömme olarak göstererek sistematik olarak öldürmesine izin verir. önemsiz normal paket ile.

Tanım

Normal haritaların iki eşdeğer tanımı vardır, birinin normal demetler mi yoksa teğet manifold demetleri mi kullanıldığına bağlı olarak. Dolayısıyla, oldukça uygun olduğu ortaya çıkan tanımlar arasında geçiş yapmak mümkündür.

1. Poincaré kompleksi verildiğinde X (yani bir CW kompleksi hücresel zincir kompleksi tatmin eden Poincaré ikiliği ) resmi boyut ${displaystyle n}$normal bir harita X içerir

• bir harita ${displaystyle fcolon M o X}$ biraz kapalı nboyutlu manifold M,
• bir demet ${displaystyle xi}$ bitmiş Xve sabit bir harita kararlı normal paket ${displaystyle u _ {M}}$ nın-nin ${displaystyle M}$ -e ${displaystyle xi}$, ve
• genellikle normal haritanın birinci derece. Bu, temel sınıfın ${displaystyle M}$ altında haritalanmalıdır ${displaystyle f}$ temel sınıfına ${displaystyle X}$: ${displaystyle f _ {*} ([M]) = [X] H_ {n} (X)}$.

2. Poincaré kompleksi verildiğinde ${displaystyle X}$ (yani bir CW kompleksi hücresel zincir kompleksi tatmin eden Poincaré ikiliği ) resmi boyut ${displaystyle n}$normal bir harita ${displaystyle X}$ (teğet demetine göre) şunlardan oluşur:

• bir harita ${displaystyle fcolon M o X}$ biraz kapalı ${displaystyle n}$boyutlu manifold ${displaystyle M}$,
• bir demet ${displaystyle xi}$ bitmiş ${displaystyle X}$ve ahırdan sabit bir harita teğet demet ${displaystyle au _ {M} oplus varepsilon ^ {k}}$ nın-nin ${displaystyle M}$ -e ${displaystyle xi}$, ve
• yukarıdakine benzer şekilde, temel sınıfın ${displaystyle M}$ altında haritalanmalıdır ${displaystyle f}$ temel sınıfına ${displaystyle X}$: ${displaystyle f _ {*} ([M]) = [X] H_ {n} (X)}$.

Aralarında normal bir bordizm varsa iki normal harita eşdeğerdir.

Cerrahi teorideki rolü

Haritalarda ameliyat ve normal haritalarda ameliyat

Şu soruyu düşünün:

Poincaré kompleksi mi X resmi boyut n homotopi-eşdeğeri kapalı n-manifold?

Bu soruya saf bir cerrahi yaklaşım şöyle olacaktır: bir haritayla başlayın ${displaystyle M o X}$ bazı manifolddan ${displaystyle M}$ -e ${displaystyle X}$ve ondan homotopi denkliği çıkarmak için ameliyat yapmaya çalışın. Aşağıdakilere dikkat edin: Başlangıç ​​haritamız isteğe bağlı olarak seçildiğinden ve ameliyat her zaman koordinat haritaları ürettiğinden, bu prosedür haritaların tüm kobordizm sınıfları için (en kötü durumda) gerçekleştirilmelidir. ${displaystyle M o X}$. Bu tür bir kobordizm teorisi, katsayıları tarafından hesaplanan bir homoloji teorisidir. Thom: bu nedenle, bu tür haritaların kobordizm sınıfları, tüm alanlar için en azından teoride hesaplanabilir ${displaystyle X}$.

Ancak haritadan ameliyat yoluyla homotopi denkliği yapmanın mümkün olup olmadığına karar vermenin çok zor olduğu ortaya çıkarken, harita normal bir haritanın ekstra yapısıyla geldiğinde aynı soru çok daha kolay oluyor. Dolayısıyla sorumuza klasik cerrahi yaklaşımda normal bir harita ile başlamaktadır. ${displaystyle fcolon M o X}$ (var varsayalım) ve üzerinde ameliyat gerçekleştirir. Bunun birkaç avantajı vardır:

• Haritanın birinci derece olması, homolojinin ${displaystyle M}$ homolojisinin doğrudan bir toplamı olarak böler ${displaystyle X}$ ve sözde cerrahi çekirdek ${displaystyle K _ {*} (M) = ker (f _ {*} iki nokta üst üste H _ {*} (M) o H _ {*} (X))}$, yani ${displaystyle H _ {*} (M) = K _ {*} (M) oplus H _ {*} (X)}$. (Burada varsayalım ki ${displaystyle f}$ temel grupların izomorfizmini indükler ve yerel katsayılarla homoloji kullanır. ${displaystyle Z [pi _ {1} (X)]}$.)

Tarafından Whitehead teoremi, harita ${displaystyle f}$ eğer ve ancak cerrahi çekirdek sıfırsa bir homotopi eşdeğeridir.

• Paket verileri şunları ifade eder: Bir öğenin ${pi cinsinden displaystyle alfa _ {p + 1} (f)}$ (göreceli homotopi grubu ${displaystyle f}$) ile temsil edilebilir gömme ${displaystyle phi: S ^ {p} o M}$ (veya daha genel olarak bir daldırma ) boş homotopi ile ${displaystyle fcirc phi: S ^ {p} o X}$. Daha sonra, normal demeti sabit bir şekilde önemsiz olan bir gömme (veya daldırma) ile temsil edilebilir. Bu gözlem önemlidir çünkü ameliyat sadece önemsiz normal demet ile yapılan düğünlerde mümkündür. Örneğin, eğer ${displaystyle p}$ boyutunun yarısından daha az ${displaystyle X}$, her harita ${görüntü stili S ^ {p} o X}$ bir teorem tarafından bir gömülmeye homotopiktir Whitney. Öte yandan, böyle bir katıştırmanın her istikrarlı ve önemsiz normal demeti otomatik olarak önemsizdir, çünkü ${displaystyle pi _ {p} (BO, BO_ {k}) = 0}$ için ${displaystyle k> p}$. Bu nedenle normal haritalarda ameliyat her zaman orta boyutun altında yapılabilir. Bu rastgele haritalar için geçerli değildir.

Bu yeni yaklaşımın, normal değişmezler olan normal haritaların bordizm sınıflarını sınıflandırmayı gerekli kıldığına dikkat edin. Haritaların kobordizm sınıflarının aksine, normal değişmezler bir kohomoloji teorisi. Katsayıları, topolojik manifoldlar durumunda bilinir. Düzgün manifoldlar durumunda, teorinin katsayıları çok daha karmaşıktır.

Yapı kümesine karşı normal değişmezler

Seti incelemenin önemli olmasının iki nedeni var ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$. Cerrahi teorinin temel amacının şu sorulara cevap vermek olduğunu hatırlayın:

1. Sonlu bir Poincaré kompleksi verildiğinde ${displaystyle X}$ bir ... var mı ${displaystyle n}$-manifold homotopi eşdeğeri ${displaystyle X}$?

2. İki homotopi eşdeğeri verildiğinde ${displaystyle f_ {i} iki nokta üst üste M_ {i} ightarrow X}$, nerede ${displaystyle i = 0,1}$ diffeomorfizm var mı ${displaystyle hcolon M_ {0} ightarrow M_ {1}}$ öyle ki ${displaystyle f_ {1} circ hsimeq f_ {0}}$?

Bu soruların cevabının olumlu olması gerekiyorsa, aşağıdaki iki sorunun cevabının olumlu olmasının gerekli bir koşul olduğuna dikkat edin.

1. ' Sonlu bir Poincaré kompleksi verildiğinde ${displaystyle X}$ bir derece normal harita var mı ${displaystyle (f, b) iki nokta üst üste Mightarrow X}$?

2. ' İki homotopi eşdeğeri verildiğinde ${displaystyle f_ {i} iki nokta üst üste M_ {i} ightarrow X}$, nerede ${displaystyle i = 0,1}$ normal bir kobordizm var mı ${displaystyle (F, B) iki nokta üst üste (W, M, M ') o (M imes I, M imes 0, M imes 1)}$ öyle ki ${displaystyle kısmi F_ {0} = f_ {0}}$ ve ${displaystyle kısmi F_ {1} = f_ {1}}$?

Bu elbette neredeyse önemsiz bir gözlem, ancak önemli çünkü 1. soruyu yanıtlayan etkili bir teori olduğu ortaya çıktı. ' ve ayrıca 1. soruyu yanıtlayan etkili bir teori, 1. sorunun cevabını verdi. ' Evet. Benzer şekilde 2. ve 2. sorular için de geçerlidir. ' Soruları şu şekilde ifade edebileceğimize de dikkat edin:

1. ' Dır-dir ${displaystyle {mathcal {N}} (X) eq boş küme}$?

2. ' Dır-dir ${displaystyle f_ {0} = f_ {1}}$ içinde ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$?

Dolayısıyla çalışmak ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$ gerçekten cerrahi yapı setini anlamaya çalışmanın ilk adımıdır. ${displaystyle {mathcal {S}} (X)}$ cerrahi teoride temel amaç budur. Mesele şu ki ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$ aşağıda açıklandığı gibi cebirsel topoloji açısından çok daha erişilebilirdir.

Homotopi teorisi

1. ' İzin Vermek X sonlu olmak nboyutlu Poincaré kompleksi. Tanımını kullanmak faydalıdır ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$ normal demetlerle. Bir (pürüzsüz) manifoldun benzersiz bir teğet demeti ve benzersiz bir kararlı normal demeti olduğunu hatırlayın. Ancak sonlu bir Poincaré kompleksi, böyle benzersiz bir pakete sahip değildir. Bununla birlikte, Spivak normal fibrasyon adı verilen bir ikame maddesine - bir anlamda benzersiz küresel fibrasyona - sahiptir. Bu, eğer ${displaystyle X}$ bir manifolda eşdeğer bir homotopidir, bu durumda bu manifoldun normal demetinin geri çekilmesiyle ilişkili küresel fibrasyon, Spivak normal fibrasyonuna izomorfiktir. Bu nedenle, eğer ${displaystyle {mathcal {N}} (X) eq boş küme}$ daha sonra Spivak normal fibrasyonunda demet azalması olur. Tarafından Pontrjagin-Thom inşaatı sohbet de doğrudur.

Bu, homotopi teorisi açısından formüle edilebilir. Hatırlama ${displaystyle BG}$ kararlı küresel fibrilasyonlar için sınıflandırma alanı, ${displaystyle BO}$ kararlı vektör demetleri ve harita için sınıflandırma alanı ${displaystyle Jcolon BOightarrow BG}$ dahil edilmesiyle indüklenen ${displaystyle Ohookrightarrow G}$ ve bu, bir vektör demetinin ilişkili küresel fibrasyonunu almaya karşılık gelir. Aslında bir fibrasyon dizimiz var ${displaystyle BOightarrow BGightarrow B (G / O)}$. Spivak normal fibrasyon bir harita ile sınıflandırılır ${displaystyle u _ {X} iki nokta üst üste Xightarrow BG}$. Bir vektör demeti indirgemesi vardır, ancak ve ancak ${displaystyle u _ {X}}$ asansör var ${displaystyle {ilde {u}} _ {X} iki nokta üst üste Xightarrow BO}$. Bu, kompozisyonun ${displaystyle Xightarrow BGightarrow B (G / O)}$ boş homotopiktir.

Homotopi gruplarının ${displaystyle B (G / O)}$ belirli düşük boyutlarda bilinir ve önemsiz değildir, bu da yukarıdaki koşulun bazıları için başarısız olma olasılığını düşündürür. ${displaystyle X}$. Aslında böyle sonlu Poincaré kompleksleri vardır ve ilk örnek şu şekilde elde edilmiştir: Gitler ve Stasheff,^{[kaynak belirtilmeli ]} Böylece, bir manifolda eşdeğer homotopi olmayan bir Poincaré kompleksinin bir örneğini verir.

2. ' Yukarıdaki hususları göreceleştirmek, (doğal olmayan) bir eşleştirme elde eder.

${displaystyle {mathcal {N}} (X) cong [X, G / O].}$

Farklı kategoriler

Yukarıdaki bijeksiyon verir ${displaystyle {mathcal {N}} (X)}$ uzaydan beri değişmeli bir grup yapısı ${displaystyle G / O}$ bir döngü uzayıdır ve aslında sonsuz bir döngü uzayıdır, bu nedenle normal değişmezler, bu sonsuz döngü uzayıyla tanımlanan olağanüstü bir kohomoloji teorisinin sıfırıncı bir kohomoloji grubudur. Benzer fikirlerin diğer manifold kategorileri için de geçerli olduğunu ve birinin önyargıları olduğunu unutmayın.

${displaystyle {mathcal {N}} (X) cong [X, G / O]}$, ve ${displaystyle {mathcal {N}} ^ {PL} (X) cong [X, G / PL]}$, ve ${displaystyle {mathcal {N}} ^ {TOP} (X) cong [X, G / TOP].}$

Alanların

${displaystyle G / O}$, ${displaystyle G / PL}$ ve ${displaystyle G / TOP}$

karşılıklı olarak homotopi eşdeğeri değildir ve bu nedenle üç farklı kohomoloji teorisi elde edilir.

Sullivan vakaları analiz etti ${displaystyle G / PL}$ ve ${displaystyle G / TOP}$. Bu boşlukların aslında şu bakış açısından daha iyi olan alternatif sonsuz döngü uzay yapılarına sahip olduğunu gösterdi: Normal değişmezlerden L grubuna bir cerrahi obstrüksiyon haritası olduğunu hatırlayın. Normal değişmezler üzerinde yukarıda açıklanan grup yapısı ile bu harita bir homomorfizm DEĞİLDİR. Bununla birlikte, Sullivan teoremindeki grup yapısı ile kategorilerde bir homomorfizm haline gelir. ${displaystyle CAT = PL}$, ve ${displaystyle TOP}$. Teoremi aynı zamanda bu yeni grup yapılarını iyi bilinen kohomoloji teorilerine bağlar: tekil kohomoloji ve gerçek K-teorisi.

Referanslar

• Browder, William (1972), Basitçe bağlanmış manifoldlarda cerrahi, Berlin, New York: Springer-Verlag, BAY  0358813
• Gitler, Samule; Stasheff, James D. (Kasım 1965), "BF'nin ilk egzotik sınıfı", Topoloji, 4 (3): 257–266, doi:10.1016/0040-9383(65)90010-8
• Lück, Wolfgang (2002), Cerrahi teorisine temel bir giriş (PDF), Trieste'deki "Yüksek boyutlu manifold teorisi" okulunun ICTP Ders Notları Serisi 9, Bant 1, Mayıs / Haziran 2001, Abdus Salam Uluslararası Teorik Fizik Merkezi, Trieste 1-224
• Ranicki Andrew (2002), Cebirsel ve Geometrik Cerrahi Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX  10.1.1.309.8886, doi:10.1093 / acprof: oso / 9780198509240.001.0001, ISBN  978-0-19-850924-0, BAY  2061749
• Duvar, C.T.C (1999), Kompakt manifoldlarda cerrahi, Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar, 69 (2. baskı), Providence, R.I .: Amerikan Matematik Derneği, CiteSeerX  10.1.1.309.8451, doi:10.1090 / hayatta / 069, ISBN  978-0-8218-0942-6, BAY  1687388