Ortogonal yörünge - Orthogonal trajectory

Ortogonal yörüngeli eşmerkezli daireler (1. örnek)

Ortogonal yörüngeli paraboller (2. örnek)

İçinde matematik bir ortogonal yörünge dır-dir

• belirli bir (düzlemsel) eğri kaleminin herhangi bir eğrisiyle kesişen bir eğri ortogonal olarak.

Örneğin, bir kalemin ortogonal yörüngeleri eşmerkezli daireler ortak merkezlerinden geçen çizgilerdir (şemaya bakınız).

Ortogonal yörüngelerin belirlenmesi için uygun yöntemler çözülerek sağlanır diferansiyel denklemler. Standart yöntem bir birinci sipariş oluşturur adi diferansiyel denklem ve çözer değişkenlerin ayrılması. Her iki adım da zor veya hatta imkansız olabilir. Bu gibi durumlarda sayısal yöntemler uygulanmalıdır.

Ortogonal yörüngeler matematikte örneğin eğri koordinat sistemleri olarak kullanılır (örn. eliptik koordinatlar ) veya fizikte şu şekilde görünür: elektrik alanları ve onların eşpotansiyel eğriler.

Yörünge verilen eğrileri rastgele (ancak sabit) bir açıyla keserse, biri bir eşgen yörünge.

Ortogonal yörüngenin belirlenmesi

Kartezyen koordinatlarda

Genel olarak, kalem eğrilerinin olduğu varsayılır. dolaylı olarak bir denklemle verilir

(0) ${ displaystyle: F (x, y, c) = 0, qquad}$ 1. örnek ${ displaystyle: x ^ {2} + y ^ {2} -c = 0 , qquad}$ 2. örnek ${ displaystyle y = cx ^ {2} leftrightarrow y-cx ^ {2} = 0 ,}$

nerede ${ displaystyle c}$ kalemin parametresidir. Kalem verilirse açıkça bir denklemle ${ displaystyle y = f (x, c)}$temsili örtük olarak değiştirebilir: ${ displaystyle y-f (x, c) = 0}$. Aşağıdaki değerlendirme için gerekli tüm türevlerin mevcut olduğu varsayılmaktadır.

Aşama 1.

Örtük olarak farklılaşma için ${ displaystyle x}$ verim

(1) ${ displaystyle: F_ {x} (x, y, c) + F_ {y} (x, y, c) ; y '= 0, qquad}$ 1. örnekte ${ displaystyle: 2x + 2yy '= 0 , qquad}$ 2. örnek ${ displaystyle: y'-2cx = 0 .}$

Adım 2.

Şimdi denklemin (0) parametre için çözülebileceği varsayılmaktadır. ${ displaystyle c}$, böylece denklem (1) 'den çıkarılabilir. Birinci dereceden diferansiyel denklemi alır

(2) ${ displaystyle: y '= f (x, y), qquad}$ 1. örnekte ${ displaystyle: y '= - { frac {x} {y}} , qquad}$ 2. örnek ${ displaystyle: y '= 2 { frac {y} {x}} ,}$

verilen eğri kalemiyle yerine getirilir.

Aşama 3.

Çünkü bir noktada ortogonal yörüngenin eğimi ${ displaystyle (x, y)}$ ... eğimin negatif çarpımsal tersi Verilen eğrinin bu noktada, ortogonal yörünge birinci dereceden diferansiyel denklemi karşılar

(3) ${ displaystyle: y '= - { frac {1} {f (x, y)}} , qquad}$ 1. örnekte ${ displaystyle: y '= y / x , qquad}$ 2. örnek ${ displaystyle: y '= - { frac {x} {2y}} .}$

4. adım.

Bu diferansiyel denklem (umarız) uygun bir yöntemle çözülebilir.
Her iki örnek için değişkenlerin ayrılması uygun. Çözümler:
Örnek 1'de çizgiler ${ displaystyle y = mx, m in mathbb {R}}$ ve
Örnek 2'de, elipsler ${ displaystyle x ^ {2} + 2y ^ {2} = d, d> 0 .}$

Kutupsal koordinatlarda

Eğri kalemi örtük olarak gösteriliyorsa kutupsal koordinatlar tarafından

(0p) ${ displaystyle: F (r, varphi, c) = 0}$

kartezyen durumda olduğu gibi, parametresiz diferansiyel denklem belirlenir

(1 puan) ${ displaystyle: F_ {r} (r, varphi, c) + F _ { varphi} (r, varphi, c) ; varphi '= 0, qquad}$

(2 puan) ${ displaystyle: varphi '= f (r, varphi)}$

kalemin. Ortogonal yörüngelerin diferansiyel denklemi şudur (bkz. Redheffer & Port s. 65, Heuser, s. 120)

(3 puan) ${ displaystyle: varphi '= - { frac {1} {{ color {kırmızı} r ^ {2}} f (r, varphi)}} .}$

Ortogonal kardiyoidler

Misal: Kardioidler:

(0p) ${ displaystyle: F (r, varphi, c) = r-c (1+ cos varphi) = 0, c> 0 . }$ (diyagramda: mavi)

(1 puan) ${ displaystyle: F_ {r} (r, varphi, c) + F _ { varphi} (r, varphi, c) ; varphi '= 1 + c sin varphi ; varphi' = 0, qquad}$

Ortadan kaldırılması ${ displaystyle c}$ verilen kalemin diferansiyel denklemini verir:

(2 puan) ${ displaystyle: varphi '= - { frac {1+ cos varphi} {r sin varphi}}}$

Dolayısıyla ortogonal yörüngelerin diferansiyel denklemi:

(3 puan) ${ displaystyle: varphi '= { frac { sin varphi} {r (1+ cos varphi)}}}$

Bu diferansiyel denklemi çözdükten sonra değişkenlerin ayrılması biri alır

${ displaystyle r = d (1- cos varphi) , d> 0 ,}$

verilen kaleme simetrik olan kardiyoit kalemini (diyagramdaki kırmızı) açıklar.

Isogonal yörünge

• Belirli bir (düzlemsel) eğri kaleminin herhangi bir eğrisini sabit bir açıyla kesen bir eğri ${ displaystyle alpha}$ denir eşgen yörünge.

Eğim arasında ${ displaystyle eta '}$ izogonal bir yörünge ve eğim ${ displaystyle y '}$ bir noktada kalemin eğrisinin ${ displaystyle (x, y)}$ aşağıdaki ilişki geçerlidir:

${ displaystyle eta '= { frac {y' + tan ( alfa)} {1-y ' tan ( alfa)}} .}$

Bu ilişki şu formülden kaynaklanmaktadır: ${ displaystyle tan ( alpha + beta)}$. İçin ${ displaystyle alpha rightarrow 90 ^ { circ}}$ şartı alır dikey Yörünge.

İzogonal yörüngenin belirlenmesi için yukarıdaki talimatın 3. adımının ayarlanması gerekir:

3. adım (izog. Yörünge)

İzogonal yörüngenin diferansiyel denklemi:

• (3i) ${ displaystyle: y '= { frac {f (x, y) + tan ( alpha)} {1-f (x, y) ; tan ( alpha)}} .}$

Eşmerkezli çemberlerin izogonal yörüngeleri ${ displaystyle alpha = 45 ^ { circ}}$

1. örnek (eşmerkezli daireler) ve açı için ${ displaystyle alpha = 45 ^ { circ}}$ biri alır

(3i) ${ displaystyle: y '= { frac {-x / y + 1} {1 + x / y}} .}$

Bu, ikame ile dönüştürülebilen özel bir diferansiyel denklem türüdür. ${ displaystyle z = y / x}$ çözülebilen bir diferansiyel denklem haline değişkenlerin ayrılması. Değiştirmeyi tersine çevirdikten sonra çözümün denklemi elde edilir:

${ displaystyle arctan { frac {y} {x}} + { frac {1} {2}} ln (x ^ {2} + y ^ {2}) = C .}$

Kutupsal koordinatların tanıtılması basit denkleme yol açar

${ displaystyle C- varphi = ln (r) ,}$

hangi tanımlar logaritmik spiraller (s. diyagram).

Sayısal yöntemler

Yörüngelerin diferansiyel denkleminin teorik yöntemlerle çözülememesi durumunda, kişi bunu sayısal olarak çözmelidir, örneğin Runge-Kutta yöntemleri.

Ayrıca bakınız

• Cassini oval
• Konfokal konik bölümler
• Yörünge
• Apollon çemberleri, hepsi birbirine ortogonal olan daire aile çiftleri

Referanslar

• A. Jeffrey: İleri Mühendislik Matematiği, Hartcourt / Academic Press, 2002, ISBN  0-12-382592-X, s. 233.
• S. B. Rao: Diferansiyel denklemler, University Press, 1996, ISBN  81-7371-023-6, s. 95.
• R. M. Redheffer, D. Port: Diferansiyel Denklemler: Teori ve Uygulamalar, Jones ve Bartlett, 1991, ISBN  0-86720-200-9, s. 63.
• H. Heuser: Gewöhnliche Diferansiyelgleichungen, Vieweg + Teubner, 2009, ISBN  978-3-8348-0705-2, s. 120.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (2012), Sıradan Diferansiyel Denklemler Dover Books on Mathematics, Courier Dover, s. 115, ISBN  9780486134642.

Dış bağlantılar

• Ortogonal yörüngeleri keşfetmek - kullanıcının eğri ailelerini ve bunların ortogonal yörüngelerini çizmesine izin veren uygulama.
• mathcurve: ALAN HATLARI, ORTOGONAL HATLAR, ÇİFT ORTOGONAL SİSTEM