P varyasyonu - P-variation

İçinde matematiksel analiz, p varyasyonu bir koleksiyon Seminorms sıralı bir kümeden bir metrik uzay, gerçek bir sayı ile indekslenmiş ${ displaystyle p geq 1}$. p-varyasyon, bir işlevin düzenliliğinin veya düzgünlüğünün bir ölçüsüdür. Özellikle, eğer ${ displaystyle f: I - (M, d)}$, nerede ${ displaystyle (M, d)}$ bir metrik uzaydır ve ben tamamen düzenli bir set, p-varyasyon

${ displaystyle | f | _ {p { text {-var}}} = sol ( sup _ {D} toplamı _ {t_ {k} D} d (f (t_ {k} ), f (t_ {k-1})) ^ {p} sağ) ^ {1 / p}}$

nerede D tüm sonlu aralığın bölümleri ben.

p bir fonksiyonun değişimi p. Eğer f sonlu pvaryasyon ve g bir α-Hölder sürekli işlevi, o zaman ${ displaystyle g circ f}$ sonlu ${ displaystyle { frac {p} { alpha}}}$-varyasyon.

Durum ne zaman p biri denir toplam varyasyon ve sonlu 1 varyasyonlu işlevler olarak adlandırılır sınırlı varyasyon fonksiyonlar.

Hölder normu ile bağlantı

Biri yorumlayabilir pHölder normunun parametreden bağımsız bir versiyonu olarak varyasyon, aynı zamanda kesintili fonksiyonlara da uzanır. Eğer f dır-dir α–Hölder sürekli (yani α – Hölder normu sonludur) sonra ${ displaystyle { frac {1} { alpha}}}$-Varyasyon sonludur. Özellikle, bir aralıkta [a,b], ${ displaystyle | f | _ {{ frac {1} { alpha}} { text {-var}}} leq | f | _ { alpha} (ba) ^ { alpha} }$. Tersine, eğer f süreklidir ve sonludur p-varyasyon, bir yeniden parametreleme var, ${ displaystyle tau}$, öyle ki ${ displaystyle f circ tau}$ dır-dir ${ displaystyle 1 / p-}$Hölder sürekli.

Eğer p daha az q sonra sonlu fonksiyonların uzayı p-Kompakt bir küme üzerindeki varyasyon, norm 1 ile sürekli olarak sonlu olanlara gömülür. q-varyasyon. Yani ${ displaystyle | f | _ {q { text {-var}}} leq | f | _ {p { text {-var}}}}$. Bununla birlikte, Hölder uzaylarıyla benzer durumdan farklı olarak, gömme kompakt değildir. Örneğin, [0,1] üzerindeki gerçek fonksiyonları düşünün. ${ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$. 1 varyasyonda tekdüze olarak sınırlandırılmışlardır ve noktasal olarak süreksiz bir işleve yakınsarlar. f ama bu sadece bir yakınsama değil pherhangi biri için varyasyon p ama aynı zamanda tek tip yakınsama da değildir.

Riemann-Stieltjes entegrasyonuna uygulama

Eğer f ve g [a, b] ila ℝ ortak süreksizlikler olmadan ve f sonlu pvaryasyon ve g sonlu q-varyasyon ile ${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}}> 1}$ sonra Riemann – Stieltjes İntegrali

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x): = lim _ {| D | - 0} toplamı _ {t_ {k} D} f ( t_ {k}) [g (t_ {k + 1}) - g ({t_ {k}})]}$

iyi tanımlanmıştır. Bu integral olarak bilinir Genç integral çünkü nereden geliyor Genç (1936).^[1] Bu belirli integralin değeri Young-Loève tahmini ile aşağıdaki gibi sınırlandırılmıştır.

${ Displaystyle sol | int _ {a} ^ {b} f (x) , dg (x) -f ( xi) [g (b) -g (a)] sağ | leq C , | f | _ {p { text {-var}}} | , g | _ {q { text {-var}}}}$

nerede C sadece bağlı olan bir sabittir p ve q ve ξ arasındaki herhangi bir sayıdır a ve b.^[2]Eğer f ve g süreklidir, belirsiz integral ${ displaystyle F (w) = int _ {a} ^ {w} f (x) , dg (x)}$ sonlu bir sürekli fonksiyondur q-varyasyon: If a ≤ s ≤ t ≤ b sonra ${ displaystyle | F | _ {q { text {-var}}; [s, t]}}$, onun q-variation on [s,t], ile sınırlanmıştır ${ displaystyle C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [s, t] } + | f | _ { infty; [s, t]}) leq 2C | g | _ {q { text {-var}}; [s, t]} ( | f | _ {p { text {-var}}; [a, b]} + f (a))}$nerede C sadece bağlı olan bir sabittir p ve q.^[3]

Genç diferansiyel denklemler

ℝ'den bir işlev^d -e e × d gerçek matrislere ℝ denir^eval üzerinde tek biçimli değerli^d.

Eğer f bir Lipschitz süreklidir ℝ^eon üzerinde tek biçimli değerli^d, ve X aralıktan sürekli bir fonksiyondur [a, b] ila ℝ^d sonlu pile varyasyon p 2'den küçükse, integrali f açık X, ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (X (t)) , dX (t)}$, hesaplanabilir çünkü her bileşeni f(X(t)) sonlu bir yol olacak p-varyasyon ve integral, sonlu sayıda Young integralin toplamıdır. Denklemin çözümünü sağlar ${ displaystyle dY = f (X) , dX}$ yol tarafından sürülür X.

Daha da önemlisi, eğer f bir Lipschitz süreklidir ℝ^eval üzerinde tek biçimli değerli^e, ve X aralıktan sürekli bir fonksiyondur [a, b] ila ℝ^d sonlu pile varyasyon p 2'den küçükse, Genç entegrasyon denklemin çözümünü oluşturmak için yeterlidir ${ displaystyle dY = f (Y) , dX}$ yol tarafından sürülür X.^[4]

Kaba diferansiyel denklemler

Teorisi zorlu yollar Young integrali ve Young diferansiyel denklemlerini genelleştirir ve kavramını yoğun bir şekilde kullanır. p-varyasyon.

Brownian hareketi için

p-Varyasyon ile karşılaştırılmalıdır ikinci dereceden varyasyon kullanılan stokastik analiz, bir stokastik süreci diğerine götürdüğü yer. İkinci dereceden varyasyon, bölüm inceldikçe bir sınır olarak tanımlanırken p-variation tüm bölümler üzerinde bir üstünlüktür. Bu nedenle, bir sürecin ikinci dereceden varyasyonu, 2 varyasyonundan daha küçük olabilir. Eğer W_t bir standart Brown hareketi [0,T] sonra olasılıkla bir p-Varyasyon sonsuzdur ${ displaystyle p leq 2}$ aksi takdirde sonlu. İkinci dereceden varyasyonu W dır-dir ${ displaystyle [W] _ {T} = T}$.

Hesaplama pAyrık zaman serileri için varyasyon

Ayrı bir zaman serisi gözlemler için X₀, ..., X_N hesaplamak basittir p- karmaşıklık ile varyasyon Ö (N²). İşte örnek bir C ++ kodu dinamik program:

çift p_var(sabit std::vektör<çift>& X, çift p) {	Eğer (X.boyut() == 0)		dönüş 0.0;	std::vektör<çift> cum_p_var(X.boyut(), 0.0);   // kümülatif p-varyasyonu	için (size_t n = 1; n < X.boyut(); n++) {		için (size_t k = 0; k < n; k++) {			cum_p_var[n] = std::max(cum_p_var[n], cum_p_var[k] + std::pow(std::abs(X[n] - X[k]), p));		}	}	dönüş std::pow(cum_p_var.geri(), 1./p);}

ℝ-değerli süreçler için çok daha verimli, ancak daha karmaşık algoritmalar vardır.^[5][6]ve rastgele metrik uzaylardaki işlemler için^[6].

Referanslar

• Genç, L.C. (1936), "Stieltjes entegrasyonu ile bağlantılı Hölder tipi bir eşitsizlik", Acta Mathematica, 67 (1): 251–282, doi:10.1007 / bf02401743.

Dış bağlantılar

• Sınırlı p varyasyonlu Sürekli Yollar Fabrice Baudoin
• Young integralinde, kesik varyasyon ve kaba yollar Rafał M. Łochowski