Uygun zaman - Proper time - Wikipedia

İçinde görelilik, uygun zaman boyunca zaman gibi dünya hattı olarak tanımlanır zaman ile ölçüldüğü gibi saat bu çizgiyi takip ederek. Dolayısıyla koordinatlardan bağımsızdır ve bir Lorentz skaler.[1] uygun zaman aralığı ikisi arasında Etkinlikler bir dünya çizgisinde, uygun zamandaki değişimdir. Bu aralık ilgi miktarıdır, çünkü uygun zamanın kendisi yalnızca gelişigüzel bir toplamsal sabite, yani dünya hattı boyunca bir olayda saatin ayarına kadar sabitlenir. İki olay arasındaki uygun zaman aralığı yalnızca olaylara değil, onları birbirine bağlayan dünya çizgisine ve dolayısıyla olaylar arasındaki saatin hareketine de bağlıdır. Dünya çizgisi üzerinde bir integral olarak ifade edilir. Hızlandırılmış bir saat, hızlandırılmamış bir saatle ölçülenden daha küçük bir geçen süreyi ölçecektir (atalet ) aynı iki olay arasındaki saat. ikiz paradoks bu etkinin bir örneğidir.[2]

Koyu mavi dikey çizgi, bir koordinat zaman aralığını ölçen eylemsiz bir gözlemciyi temsil eder. t olaylar arasında E1 ve E2. Kırmızı eğri, uygun zaman aralığını ölçen bir saati temsil eder τ aynı iki olay arasında.

Dört boyutlu olarak boş zaman, uygun zaman benzerdir yay uzunluğu üç boyutlu (Öklid ) Uzay. Geleneksel olarak, uygun zaman genellikle Yunanca harfle temsil edilir τ (tau ) ile temsil edilen koordinat süresinden ayırt etmek için t.

Aksine, koordinat zamanı bir gözlemci tarafından bir olaya bir zaman atamak için o gözlemcinin kendi yöntemini kullanarak ölçülen iki olay arasındaki zamandır. Bir eylemsiz gözlemcinin özel durumunda Özel görelilik zaman, gözlemcinin saati ve gözlemcinin eşzamanlılık tanımı kullanılarak ölçülür.

Uygun zaman kavramı, Hermann Minkowski 1908'de[3] ve bir özelliğidir Minkowski diyagramları.

Matematiksel biçimcilik

Uygun zamanın resmi tanımı, geçen yolu tanımlamayı içerir. boş zaman bir saati, gözlemciyi veya test parçacığını temsil eden ve metrik yapı bu uzay zamanının. Doğru zaman sözde Riemanniyen yay uzunluğu dünya hatları dört boyutlu uzay-zamanda. Matematiksel bakış açısından, koordinat süresinin önceden tanımlandığı varsayılır ve koordinat zamanının bir fonksiyonu olarak uygun zaman için bir ifadeye ihtiyacımız vardır. Deneysel bakış açısından, uygun zaman deneysel olarak ölçülen şeydir ve daha sonra koordinat zamanı, bazı atalet saatlerinin uygun zamanından hesaplanır.

Doğru zaman yalnızca, eşlik eden bir fiziksel cetvel ve saat setinin inşasına izin veren, uzay-zaman boyunca zaman benzeri yollar için tanımlanabilir. Uzay benzeri yollar için aynı biçimcilik, uygun mesafe uygun zamandan ziyade. Işığa benzeyen yollar için, uygun zaman kavramı yoktur ve uzay-zaman aralığı aynı şekilde sıfır olduğundan tanımsızdır. Bunun yerine keyfi ve fiziksel olarak alakasız afin parametresi zamanla ilgisi olmayanlar tanıtılmalıdır.[4][5][6][7][8][9]

Özel görelilikte

Bırak Minkowski metriği tarafından tanımlanmak

ve tanımla

keyfi Lorentz çerçeveleri için.

İki olay arasındaki sonsuz küçük aralığı düşünün:

(1)

herhangi bir Lorentz çerçevesinde ifade edilmiştir ve burada zaman gibi, bir parçacığın yörüngesindeki noktaları ayırmak (saati düşünün). Aynı aralık, koordinatlarda ifade edilebilir, öyle ki her an parçacık şu şekildedir: dinlenmede. Böyle bir çerçeveye anlık dinlenme çerçevesi denir ve burada koordinatlar ile gösterilir. her an için. Aralığın değişmezliği nedeniyle (farklı zamanlarda alınan anlık dinlenme çerçeveleri Lorentz dönüşümleriyle ilişkilidir) bir kişi yazabilir

çünkü anlık dinlenme çerçevesinde, parçacık veya çerçevenin kendisi hareketsizdir, yani, . Aralığın zamana benzer olduğu varsayıldığından, yukarıdaki ifadenin karekökü alınabilir;[10]

veya

Bu farklı ifade göz önüne alındığında τuygun zaman aralığı şu şekilde tanımlanır:

          (2)

Buraya P son olayın ilk olaydan daha sonra saate göre gerçekleşmesi gerekliliği tarafından belirlenen olayların sıralaması ile bazı ilk olaylardan bazı son olaylara kadar olan dünya çizgisidir.

Kullanma (1) ve yine aralığın değişmezliği, biri yazabilir[11]

          (3)

nerede v(t) koordinat zamanındaki koordinat hızı t, ve x(t), y(t), ve z(t) uzay koordinatlarıdır. İlk ifade açıkça Lorentz değişmez. Doğru zaman ve uygun zaman aralıkları tanım gereği koordinattan bağımsız olduğundan, hepsi Lorentz değişmezidir.

Eğer t, x, y, z, bir tarafından parametrelendirilir parametre λ, bu şu şekilde yazılabilir

Parçacığın hareketi sabitse, ifade basitleşir

burada Δ, ilk ve son olaylar arasındaki koordinatlarda değişiklik anlamına gelir. Özel görelilikteki tanım, aşağıdaki gibi doğrudan genel göreliliğe genelleştirir.

Genel olarak görelilik

Uygun zaman tanımlanır Genel görelilik aşağıdaki gibi: Verilen sözde Riemann manifoldu yerel koordinatlarla xμ ve bir metrik tensör gμν, uygun zaman aralığı Δτ zamansal bir yol boyunca iki olay arasında P tarafından verilir çizgi integrali[12]

 

 

 

 

(4)

Bu ifade, olması gerektiği gibi, koordinat değişiklikleri altında değişmez. Özel görelilik ifadesini (uygun koordinatlarda) düz uzay-zaman.

Aynı şekilde koordinatlar öyle seçilebilir ki x1, x2, x3 = sabit özel görelilikte bu, genel görelilikte de yapılabilir. Sonra bu koordinatlarda[13]

Bu ifade tanımı genelleştirir (2) ve tanım olarak alınabilir. Ardından aralığın değişmezliğini kullanarak denklem (4) ondan aynı şekilde takip eder (3) takip eder (2)burada keyfi koordinat değişikliklerine izin verilmesi dışında.

Özel görelilik örnekleri

Örnek 1: İkiz "paradoks"

Bir ikiz paradoks senaryo, bir gözlemci olsun Bir arasında kim hareket eder Bir- Koordinatlar (0,0,0,0) ve (10 yıl, 0, 0, 0) atalet olarak. Bu şu demek Bir kalıyor 10 yıldır Bir- koordineli zaman. İçin uygun zaman aralığı Bir o zaman iki olay arasında

Dolayısıyla özel bir görelilik koordinat sisteminde "hareketsiz" olmak, uygun zaman ve koordinat zamanının aynı olduğu anlamına gelir.

Şimdi başka bir gözlemci olsun B kim seyahat eder x 5 yıl boyunca (0,0,0,0) 'dan yön Bir-0.866'da koordinat süresic (5 yıl, 4,33 ışık yılı, 0, 0). Orada bir kez, B hızlanır ve diğer 5 yıl boyunca diğer mekansal yönde ilerler Bir- koordinat süresi (10 yıl, 0, 0, 0). Gezinin her ayağı için uygun zaman aralığı kullanılarak hesaplanabilir. Birkoordinatlar ve verilir

Yani gözlemci için toplam uygun süre B (0,0,0,0) 'dan (5 yıl, 4,33 ışık yılı, 0, 0)' a ve sonra (10 yıl, 0, 0, 0) 'a gitmek 5 yıldır. Böylece, uygun zaman denkleminin zaman uzatma etkisini içerdiği gösterilmiştir. Aslında, SR uzay zamanındaki bir nesne için hız v bir müddet , deneyimlenen uygun zaman aralığı

SR zaman uzatma formülüdür.

Örnek 2: Dönen disk

Başka bir eylemsiz gözlemcinin etrafında dönen bir gözlemci, hızlandırılmış bir referans çerçevesindedir. Böyle bir gözlemci için artımlı () uygun zaman denkleminin formu, aşağıda gösterildiği gibi, izlenmekte olan yolun parametreli bir açıklamasıyla birlikte gereklidir.

Bir gözlemci olsun C içinde dönen bir diskte xy koordinat açısal oranında düzlem ve kim uzakta r diskin ortasından, diskin ortasından x=y=z= 0. Gözlemcinin yolu C tarafından verilir , nerede mevcut koordinat zamanıdır. Ne zaman r ve sabit ve . Artımlı uygun zaman formülü daha sonra

Yani sabit bir mesafede dönen bir gözlemci için r uzay zamandaki belirli bir noktadan sabit bir açısal hızda ω koordinat zamanları arasında ve , yaşanan uygun zaman

gibi v= dönen bir gözlemci için. Bu sonuç, doğrusal hareket örneği ile aynıdır ve uygun zaman formülünün integral formunun genel uygulamasını gösterir.

Genel görelilik örnekleri

SR ve genel görelilik (GR) arasındaki fark, GR'de bir kişinin aşağıdakilerin çözümü olan herhangi bir metriği kullanabilmesidir. Einstein alan denklemleri, yalnızca Minkowski metriği değil. Eğri uzay zamanlarındaki eylemsizlik hareketi, SR'deki basit ifadeden yoksun olduğundan, uygun zaman denkleminin çizgi integral formu her zaman kullanılmalıdır.

Örnek 3: Dönen disk (tekrar)

Uygun koordinat dönüşümü Minkowski metriğine karşı yapıldığında, dönen diskteki bir nesnenin aynı uzamsal koordinat konumunda kaldığı koordinatlar oluşturulur. Yeni koordinatlar

ve

t ve z koordinatlar değişmeden kalır. Bu yeni koordinat sisteminde, artan uygun zaman denklemi

İle r, θ, ve z zaman içinde sabit olmak, bu basitleştirir

Örnek 2'deki ile aynıdır.

Şimdi dönen diskin dışında ve diskin merkezine göre atalet hareketsiz kalan bir nesne olsun ve R ondan. Bu nesnede bir koordinat tarafından tanımlanan hareket dθ = −ω dt, dönen gözlemcinin görünümünde ters yönde dönmenin temelde hareketsiz nesnesini açıklar. Şimdi uygun zaman denklemi

Dolayısıyla, hareketsiz durağan gözlemci için koordinat zamanı ve uygun zamanın, görelilik teorisinin içsel öz tutarlılığı için beklendiği ve gerekli olduğu gibi bir kez daha aynı hızda geçtiği bulunmuştur.[14]

Örnek 4: Schwarzschild çözümü - Dünyadaki zaman

Schwarzschild çözümü artan uygun zaman denklemine sahiptir

nerede

  • t Dünya'ya göre hareketsiz dururken ve uzakta bir saat ile kalibre edilmiş zamandır,
  • r radyal bir koordinattır (etkili bir şekilde Dünya'nın merkezinden olan mesafedir),
  • ɸ eş-enlemsel bir koordinattır, açısal ayrımdır Kuzey Kutbu içinde radyan.
  • θ boylamsal bir koordinattır, Dünya yüzeyindeki boylama benzer, ancak Dünya'nınkinden bağımsızdır. rotasyon. Bu ayrıca radyan cinsinden verilir.
  • 1=m ... geometriye sahip Dünya'nın kütlesi m = GM/c2,

Doğru zaman ilişkisinin kullanımını göstermek için burada Dünya'yı içeren birkaç alt örnek kullanılacaktır.

İçin Dünya, M = 5.9742 × 1024 kg, yani m = 4.4354 × 10−3 m. Kuzey kutbunda dururken, varsayabiliriz (bu, Dünya'nın yüzeyinde ne yukarı ne aşağı hareket ettiğimiz anlamına gelir). Bu durumda, Schwarzschild çözümü uygun zaman denklemi olur . Ardından, Dünya'nın kutupsal yarıçapını radyal koordinat olarak kullanarak (veya metre), bunu bulduk

Şurada ekvator Dünya'nın yarıçapı r = 6,378,137 metre. Ek olarak, Dünya'nın dönüşü hesaba katılmalıdır. Bu, bir gözlemciye açısal bir hız verir. 2π bölü yıldız dönemi Dünya'nın dönüşü, 86162.4 saniye. Yani . Uygun zaman denklemi daha sonra üretir

Göreceli olmayan bir bakış açısına göre, bu önceki sonuçla aynı olmalıydı. Bu örnek, Dünya'nın dönmesine ve dolayısıyla Schwarzschild çözümünün varsaydığı gibi küresel olarak simetrik olmamasına rağmen, doğru zaman denkleminin nasıl kullanıldığını göstermektedir. Rotasyonun etkilerini daha doğru tanımlamak için Kerr metriği Kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

Dipnotlar

  1. ^ Zwiebach 2004, s. 25
  2. ^ Hawley, John F .; Holcomb, J Katherine A. (2005). Modern Kozmolojinin Temelleri (resimli ed.). Oxford University Press. s. 204. ISBN  978-0-19-853096-1. 204. sayfadan alıntı
  3. ^ Minkowski 1908, s. 53–111
  4. ^ Lovelock ve Rund 1989, s. 256
  5. ^ Weinberg 1972, s. 76
  6. ^ Poisson 2004, s. 7
  7. ^ Landau ve Lifshitz 1975, s. 245
  8. ^ Bazı yazarlar, uygun zaman tanımına ışık benzeri aralıkları ve ayrıca uzay benzeri uygun mesafeleri hayali uygun zamanlar olarak dahil eder. Lawden 2012, s. 17, 116
  9. ^ Kopeikin, Efroimsky ve Kaplan 2011, s. 275
  10. ^ Zwiebach 2004, s. 25
  11. ^ Foster & Nightingale 1978, s. 56
  12. ^ Foster & Nightingale 1978, s. 57
  13. ^ Landau ve Lifshitz 1975, s. 251
  14. ^ Aşçı 2004, s. 214–219

Referanslar