Q-Vandermonde kimliği - Q-Vandermonde identity

İçinde matematik, nın alanında kombinatorik, q-Vandermonde kimliği bir q-analog of Chu – Vandermonde kimliği. İçin standart gösterimi kullanma q-binom katsayıları kimlik belirtir ki

${displaystyle {inom {m + n} {k}} _ {!! q} = toplam _ {j} {inom {m} {kj}} _ {!! q} {inom {n} {j}} _ {!! q} q ^ {j (m-k + j)}.}$

Bu toplama sıfırdan farklı katkılar şu değerlerden gelir: j öyle ki qsağ taraftaki -binom katsayıları sıfırdan farklıdır, yani, max (0, k − m) ≤ j ≤ dk (n, k).

Diğer sözleşmeler

Tipik olduğu gibi q-analoglar, q-Vandermonde kimliği çeşitli şekillerde yeniden yazılabilir. Uygulamalarda ortak olan kurallarda kuantum grupları, değişik q-binom katsayısı kullanılmıştır. Bu qburada ifade ettiğimiz -binom katsayısı ${displaystyle B_ {q} (n, k)}$, tarafından tanımlanır

${displaystyle B_ {q} (n, k) = q ^ {- k (n-k)} {inom {n} {k}} _ {!! q ^ {2}}.}$

Özellikle, "olağan" olanın benzersiz değişimidir. q-binom katsayısı q sonuç simetrik olacak şekilde q ve ${displaystyle q ^ {- 1}}$. Bunu kullanarak q-binom katsayısı, q-Vandermonde kimliği şeklinde yazılabilir

${displaystyle B_ {q} (m + n, k) = q ^ {nk} toplamı _ {j} q ^ {- (m + n) j} B_ {q} (m, kj) B_ {q} (n , j).}$

Kanıt

(Non-q) Chu – Vandermonde kimliği, q-Vandermonde kimliği. Aşağıdaki ispat, q-Binom teoremi.

Chu – Vandermonde kimliğinin standart bir kanıtı, ürünü genişletmektir. ${displaystyle (1 + x) ^ {m} (1 + x) ^ {n}}$ iki farklı şekilde. Stanley'nin ardından,^[1] kanıtlamak için bu kanıtı değiştirebiliriz q-Vandermonde kimliği de. Öncelikle ürünün

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots kaldı (1 + q ^ {m + n-1} xight)}$

tarafından genişletilebilir q-binom teoremi

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots sol (1 + q ^ {m + n-1} xight) = toplam _ {k} q ^ {frac {k (k-1)} {2}} {inom {m + n} {k}} _ {!! q} x ^ {k}.}$

Daha az belli ki yazabiliriz

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots sol (1 + q ^ {m + n-1} xight) = sol ((1 + x) cdots (1 + q ^ {m-1} x) ight ) sol (sol (1+ (q ^ {m} x) ight) sol (1 + q (q ^ {m} x) ight) cdots sol (1 + q ^ {n-1} (q ^ {m} x) ight) ight)}$

ve her iki alt ürünü de ayrı ayrı genişletebiliriz. q-Binom teoremi. Bu verir

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots sol (1 + q ^ {m + n-1} xight) = sol (toplam _ {i} q ^ {frac {i (i-1)} {2 }} {inom {m} {i}} _ {!! q} x ^ {i} ight) cdot left (toplam _ {i} q ^ {mi + {frac {i (i-1)} {2}} } {inom {n} {i}} _ {!! q} x ^ {i }ight).}$

Bu son ürünü çarpıp benzer terimleri birleştirmek,

${displaystyle toplamı _ {k} toplam _ {j} sol (q ^ {j (m-k + j) + {frac {k (k-1)} {2}}} {inom {m} {kj}} _ {!! q} {inom {n} {j}} _ {!! q} ight) x ^ {k}.}$

Son olarak, eşitleme güçleri ${displaystyle x}$ iki ifade arasında istenen sonucu verir.

Bu argüman ürünü genişletmek anlamında da ifade edilebilir. ${displaystyle (A + B) ^ {m} (A + B) ^ {n}}$ iki farklı şekilde, nerede Bir ve B vardır operatörler (örneğin, bir çift matris) "q-commute, "yani tatmin edici BA = qAB.

Notlar

Referanslar

• Richard P. Stanley (2011). Sayımsal Kombinatorik, Cilt 1 (PDF) (2 ed.). Alındı 2 Ağustos 2011.

• Exton, H. (1983), q-Hipergeometrik Fonksiyonlar ve Uygulamalar, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538
• Gaurav Bhatnagar (2011). "Euler'in Temel Kimliğine Övgü". Elektronik Kombinatorik Dergisi. 18 (2): 13. arXiv:1102.0659.
• Victor J.W. Guo (2008). "Gould'un ve Rothe'nin Kimliklerinin İki Amaçlı Kanıtları". Ayrık Matematik. 308 (9): 1756. arXiv:1005.4256. doi:10.1016 / j.disc.2007.04.020.
• Sylvie Corteel; Carla Savage (2003). "Ders Salonu Teoremleri, q-serisi ve Kesilmiş Nesneler". arXiv:matematik / 0309108.