İçinde matematik, dörtlü ürün dörtlü bir üründür vektörler üç boyutlu olarak Öklid uzayı. "Dörtlü ürün" adı iki farklı ürün için kullanılmaktadır,[1] skaler değerli skaler dörtlü çarpım ve vektör değerli vektör dörtlü çarpım veya dört vektörün vektör ürünü .
Skaler dörtlü çarpım
skaler dörtlü çarpım olarak tanımlanır nokta ürün iki çapraz ürünler:
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21e81fa7ab2b6535ae45d2f71af8d7106e493d5)
nerede a, b, c, d üç boyutlu Öklid uzayındaki vektörlerdir.[2] Kimlik kullanılarak değerlendirilebilir:[2]
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) = ({ mathbf {a cdot c}} ) ({ mathbf {b cdot d}}) - ({ mathbf {a cdot d}}) ({ mathbf {b cdot c}}) .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08592768cba93e7eea9e256a4b516b9fce121d32)
veya kullanarak belirleyici:
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) = { begin {vmatrix} { mathbf {a cdot c}} & { mathbf {a cdot d}} { mathbf {b cdot c}} & { mathbf {b cdot d}} end {vmatrix}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f60e080336e7188f97b0c12089848e9d5c6373)
Dörtlü vektör çarpımı
vektör dörtlü çarpım olarak tanımlanır Çapraz ürün iki çapraz ürün:
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { times}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931eb31f433fe684794b0f1725ac2273feba3237)
nerede a, b, c, d üç boyutlu Öklid uzayındaki vektörlerdir.[3] Kimlik kullanılarak değerlendirilebilir:[4]
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { times}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) = [{ mathbf {a, b, d}}] { mathbf c} - [{ mathbf {a, b, c}}] { mathbf d} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e41e3db9c5e3a2fb2030f9822ab0af1f24ad91)
Bu kimlik kullanılarak da yazılabilir tensör gösterim ve Einstein toplamı kongre aşağıdaki gibidir:
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { times}} ({ mathbf {c}} times { mathbf {d}}) = varepsilon _ {{ijk}} a ^ { i} c ^ {j} d ^ {k} b ^ {l} - varepsilon _ {{ijk}} b ^ {i} c ^ {j} d ^ {k} a ^ {l} = varepsilon _ {{ijk}} a ^ {i} b ^ {j} d ^ {k} c ^ {l} - varepsilon _ {{ijk}} a ^ {i} b ^ {j} c ^ {k} d ^ {l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d5f46c7801684fd548b8cc7e821140e33b1c485)
için gösterimi kullanarak üçlü ürün:
![[{ mathbf {a, b, d}}] = ({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot d}} = { begin {vmatrix} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf i}}} & { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf i}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf i}}} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf j}}} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf k}}} ve { mathbf {b cdot }} { hat {{ mathbf k}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf k}}} end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf i}}} & { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf j}}} ve { mathbf {a cdot}} { hat {{ mathbf k}}} { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf i}}} ve { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf j} }} & { mathbf {b cdot}} { hat {{ mathbf k}}} { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf i}}} ve { mathbf { d cdot}} { hat {{ mathbf j}}} & { mathbf {d cdot}} { hat {{ mathbf k}}} end {vmatrix}} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5130be70093245e5bc521cbb5a7429259594fd9d)
son iki formun belirleyici olduğu
üç karşılıklı dikey yön boyunca birim vektörleri belirtir.
Eşdeğer formlar kimlik kullanılarak elde edilebilir:[5]
![[{ mathbf {b, c, d}}] { mathbf a} - [{ mathbf {c, d, a}}] { mathbf b} + [{ mathbf {d, a, b}}] { mathbf {c}} - [{ mathbf {a, b, c}}] { mathbf d} = 0 .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aab120a97d92e8ffd4c390fc8be37ebdf564021)
Uygulama
Dörtlü ürünler, küresel ve düzlem geometride çeşitli formüllerin türetilmesi için kullanışlıdır.[3] Örneğin, birim küre üzerinde dört nokta seçilmişse, A, B, C, Dve kürenin merkezinden dört noktaya çizilen birim vektörler, a, b, c, d sırasıyla kimlik:
![({ mathbf {a times b}}) { mathbf { cdot}} ({ mathbf {c times d}}) = ({ mathbf {a cdot c}}) ({ mathbf { b cdot d}}) - ({ mathbf {a cdot d}}) ({ mathbf {b cdot c}}) ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a90640b0c3ba354b957793f93be2695fe66b15)
çapraz çarpımın büyüklüğü ilişkisiyle bağlantılı olarak:
![| { mathbf {a times b}} | = ab sin theta _ {{ab}} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e484cc61363a8c51ecc133887e61cea4afb28887)
ve iç çarpım:
![{ displaystyle mathbf {a cdot b} = ab cos theta _ {ab} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4debac0acc72d3eee5263089daf49336b3675f92)
nerede a = b = 1 birim küre için, Gauss'a atfedilen açılar arasında özdeşlik ile sonuçlanır:
![sin theta _ {{ab}} sin theta _ {{cd}} cos x = cos theta _ {{ac}} cos theta _ {{bd}} - cos theta _ {{ad}} cos theta _ {{bc}} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d9e5af6ab0b7b37e3d56cee36faefded04ecef)
nerede x arasındaki açı a × b ve c × dveya eşdeğer olarak, bu vektörler tarafından tanımlanan düzlemler arasında.
Josiah Willard Gibbs Vektör analizi konusundaki öncü çalışması birkaç başka örnek sağlar.[3]
Notlar
Referanslar
Ayrıca bakınız