Ramanujans ana teoremi - Ramanujans master theorem - Wikipedia

İçinde matematik, Ramanujan'ın ana teoremi (adını Srinivasa Ramanujan[1]) için analitik bir ifade sağlayan bir tekniktir. Mellin dönüşümü bir analitik işlev.

Ramanujan'ın Master teoremini belirten defterinden sayfa.

Sonuç şu şekilde belirtilir:

Karmaşık değerli bir işlev formun genişlemesi var

sonra Mellin dönüşümü nın-nin tarafından verilir

nerede ... gama işlevi.

Ramanujan tarafından belirli integralleri hesaplamak için yaygın olarak kullanılmıştır ve sonsuz seriler.

Bu teoremin daha yüksek boyutlu versiyonları ayrıca kuantum fiziği (vasıtasıyla Feynman diyagramları ).[2]

Benzer bir sonuç şu şekilde de elde edildi: Glaisher.[3]

Alternatif biçimcilik

Ramanujan'ın ana teoreminin alternatif bir formülasyonu aşağıdaki gibidir:

yerine geçtikten sonra yukarıdaki forma dönüştürülür ve fonksiyonel denklemi kullanarak gama işlevi.

Yukarıdaki integral için yakınsak büyüme koşullarına tabi .[4]

Kanıt

Ramanujan'ın Master teoremine "doğal" varsayımlara (en zayıf gerekli koşullar olmasa da) tabi bir ispat sağlanmıştır. G. H. Hardy[5] istihdam etmek kalıntı teoremi ve tanınmış Mellin ters çevirme teoremi.

Bernoulli polinomlarına uygulama

Oluşturma işlevi Bernoulli polinomları tarafından verilir:

Bu polinomlar, Hurwitz zeta işlevi:

tarafından için Ramanujan ana teoremini ve Bernoulli polinomlarının üretme fonksiyonunu kullanarak aşağıdaki integral gösterimi elde edilir:[6]

hangisi için geçerlidir .

Gama işlevine uygulama

Weierstrass'ın Gama işlevi tanımı

ifadeye eşdeğerdir

nerede ... Riemann zeta işlevi.

Sonra Ramanujan ana teoremini uygulayarak elimizde:

Şunun için geçerli .

Özel durumlar ve vardır

Referanslar

  1. ^ Berndt, B. (1985). Ramanujan Defterleri, Bölüm I. New York: Springer-Verlag.
  2. ^ González, Iván; Moll, V.H .; Schmidt, Iván (2011). "Feynman diyagramlarının değerlendirilmesi için uygulanan genelleştirilmiş bir Ramanujan Master Teoremi". arXiv:1103.0588 [matematik-ph ].
  3. ^ Glaisher, J.W.L. (1874). "Belirli integrallerde yeni bir formül". The London, Edinburgh ve Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 48 (315): 53–55. doi:10.1080/14786447408641072.
  4. ^ Amdeberhan, Tewodros; Gonzalez, Ivan; Harrison, Marshall; Moll, Victor H .; Straub, Armin (2012). "Ramanujan'ın Master Teoremi". Ramanujan Dergisi. 29 (1–3): 103–120. CiteSeerX  10.1.1.232.8448. doi:10.1007 / s11139-011-9333-y.
  5. ^ Hardy, G.H. (1978). Ramanujan: Hayatı ve eserinin önerdiği konularda on iki ders (3. baskı). New York, NY: Chelsea. ISBN  978-0-8284-0136-4.
  6. ^ Espinosa, O .; Moll, V. (2002). "Hurwitz zeta fonksiyonunu içeren bazı belirli integrallerde. Bölüm 2". Ramanujan Dergisi. 6 (4): 449–468. arXiv:matematik / 0107082. doi:10.1023 / A: 1021171500736.

Dış bağlantılar