Rasyonel fark denklemi - Rational difference equation - Wikipedia

Bir rasyonel fark denklemi doğrusal değildir fark denklemi şeklinde[1][2][3][4]

başlangıç ​​koşulları nerede payda hiçbir zaman yok olmayacak şekilde mi? n.

Birinci dereceden rasyonel fark denklemi

Bir birinci dereceden rasyonel fark denklemi doğrusal değildir fark denklemi şeklinde

Ne zaman ve başlangıç ​​koşulu gerçek sayılardır, bu fark denklemine a Riccati fark denklemi.[3]

Böyle bir denklem yazarak çözülebilir başka bir değişkenin doğrusal olmayan dönüşümü olarak kendisi doğrusal olarak gelişir. Daha sonra sorunu çözmek için standart yöntemler kullanılabilir. doğrusal fark denklemi içinde .

Birinci dereceden denklem çözme

İlk yaklaşım

Tek bir yaklaşım [5] dönüştürülmüş değişkeni geliştirmek için , ne zaman yazmaktır

nerede ve ve nerede .

Daha fazla yazı verim gösterilebilir

İkinci yaklaşım

Bu yaklaşım [6] birinci dereceden bir fark denklemi verir ikinci mertebeden yerine negatif değildir. Yazmak ima eden , nerede tarafından verilir ve nerede . O zaman gösterilebilir ki göre gelişir

Üçüncü yaklaşım

Denklem

bunu özel bir durum olarak ele alarak da çözülebilir. daha genel matris denklemi

hepsi nerede A, B, C, E, ve X vardır n×n matrisler (bu durumda n= 1); bunun çözümü[7]

nerede

Uygulama

Gösterildi [8] bu dinamik matris Riccati denklemi şeklinde

bazılarında ortaya çıkabilir ayrık zaman optimal kontrol problemler, yukarıdaki ikinci yaklaşım kullanılarak çözülebilir, eğer matris C sütundan yalnızca bir fazla satıra sahiptir.

Referanslar

  1. ^ Skellam, J.G. (1951). "Teorik popülasyonlarda rastgele dağılma", Biometrika 38 196−–218, eşd. (41,42)
  2. ^ Açık problemler ve Varsayımlar ile üçüncü dereceden rasyonel fark denklemlerinin dinamikleri
  3. ^ a b İkinci mertebeden rasyonel fark denklemlerinin dinamikleri ve açık problemler ve Varsayımlar
  4. ^ Newth, Gerald, "Kaotik başlangıçlardan dünya düzeni", Matematiksel Gazette 88, Mart 2004, 39-45 trigonometrik bir yaklaşım verir.
  5. ^ Brand, Louis, "Bir fark denklemiyle tanımlanan bir dizi" American Mathematical Monthly 62, Eylül 1955, 489–492. internet üzerinden
  6. ^ Mitchell, Douglas W., "İki hedefli ayrık zamanlı kontrol için bir analitik Riccati çözümü," Ekonomik Dinamikler ve Kontrol Dergisi 24, 2000, 615–622.
  7. ^ Martin, C. F. ve Ammar, G., "Matris Riccati denkleminin geometrisi ve ilişkili özdeğer yöntemi", Bittani, Laub ve Willems'de (editörler), Riccati Denklemi, Springer-Verlag, 1991.
  8. ^ Balvers, Ronald J. ve Mitchell, Douglas W., "Doğrusal ikinci dereceden kontrol problemlerinin boyutluluğunu azaltmak", Ekonomik Dinamikler ve Kontrol Dergisi 31, 2007, 141–159.

daha fazla okuma

  • Simons, Stuart, "Doğrusal olmayan bir fark denklemi" Matematiksel Gazette 93, Kasım 2009, 500-504.