72 Kuralı - Rule of 72

İçinde finans, 72 kuralı, 70 kuralı^[1] ve 69.3 kuralı tahmin etme yöntemleridir yatırım ikiye katlama zamanı. Kural numarası (örneğin, 72), ikiye katlama için gereken yaklaşık dönem sayısını elde etmek için dönem başına faiz yüzdesine (genellikle yıl) bölünür. olmasına rağmen bilimsel hesap makineleri ve hesap tablosu programların doğru ikiye katlama zamanını bulmak için işlevleri vardır, kurallar zihinsel hesaplamalar ve sadece basit olduğunda hesap makinesi kullanılabilir.^[2]

Bu kurallar aşağıdakiler için geçerlidir: üstel büyüme ve bu nedenle bileşik faiz aksine basit ilgi hesaplamalar. Ayrıca şunlar için de kullanılabilirler çürüme yarılanma süresi elde etmek için. Sayı seçimi çoğunlukla bir tercih meselesidir: 69, sürekli bileşik oluşturma için daha doğrudur, 72 ortak ilgi durumlarında daha iyi çalışır ve daha kolay bölünebilir. Doğruluğu artıran kurallarda bir dizi varyasyon vardır. Periyodik bileşik oluşturma için, tam faiz oranı için iki katına çıkarma süresi r dönem başına yüzde

${ displaystyle t = { frac { ln (2)} { ln (1 + r / 100)}} yaklaşık { frac {72} {r}}}$,

nerede t gerekli dönem sayısıdır. Yukarıdaki formül, iki katına çıkma süresini hesaplamaktan daha fazlası için kullanılabilir. Üçleme zamanını bilmek istiyorsanız, örneğin paydaki 2 sabitini 3 ile değiştirin. Başka bir örnek olarak, başlangıç ​​değerinin% 50 artması için gereken periyot sayısını bilmek isterse, sabitini değiştirin 1.5 ile 2.

Kuralı bileşik dönemleri tahmin etmek için kullanma

Orijinal bir yatırımı ikiye katlamak için gereken dönem sayısını tahmin etmek için, en uygun "kural miktarını", yüzde olarak ifade edilen beklenen büyüme oranına bölün.

• Örneğin, yıllık% 9 oranında bileşik faizle 100 $ yatırım yapacaksanız, 72 kuralı, yatırımın 200 $ değerinde olması için gereken 72/9 = 8 yılı verir; kesin bir hesaplama verir ln (2) /ln(1+0.09) = 8.0432 yıl.

Benzer şekilde, belirli bir oranda para değerinin yarıya düşmesi için geçen süreyi belirlemek için, kural miktarını bu orana bölün.

• Zamanı belirlemek için para 's satın alma gücü finansörler ikiye bölmek için kural-niceliğini enflasyon oranı. Böylece% 3,5 şişirme kullanmak 70 kuralı, bir para biriminin değerinin yarıya inmesi yaklaşık 70 / 3,5 = 20 yıl almalıdır^[1].
• Ek ücretlerin mali politikalar üzerindeki etkisini tahmin etmek için (örneğin, yatırım fonu ücret ve giderleri, yükleme ve masraf ücretleri değişken evrensel hayat sigortası yatırım portföyleri), 72'yi ücrete bölün. Örneğin, Evrensel Yaşam politikası, temeldeki yatırım fonunun maliyetinin üzerinde ve üzerinde yıllık% 3'lük bir ücret talep ederse, toplam hesap değeri 72/3 = 24 yılda% 50'ye ve ardından% 25'e düşürülecektir. aynı yatırımı poliçe dışında tutmakla karşılaştırıldığında 48 yıldaki değer.

Kural seçimi

72 değeri, birçok küçük parçaya sahip olduğu için uygun bir pay seçimidir. bölenler: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 ve 12. Yıllık bileşik oluşturma ve tipik oranlarda (% 6 ila% 10) bileşik oluşturma için iyi bir yaklaşıklık sağlar. Yaklaşık değerler, yüksek faiz oranlarında daha az doğrudur.

Sürekli birleştirme için 69, her oran için doğru sonuçlar verir. Bunun nedeni ise ln (2) yaklaşık% 69.3'tür; aşağıdaki türetime bakın. Günlük birleştirme, sürekli bileştirmeye yeterince yakın olduğundan, çoğu amaç için 69, 69.3 veya 70, günlük birleştirme için 72'den daha iyidir. Yukarıdakilerden daha düşük yıllık oranlar için 69.3, 72'den daha doğru olacaktır.^[3] Daha yüksek yıllık oranlar için 78 daha doğrudur.

Üstel büyümelerin (kalın çizgiler) ve bozulmanın (soluk çizgiler) ikiye katlanma sürelerini ve yarı ömürlerini karşılaştıran grafikler ve bunların 70 /t ve 72 /t yaklaşımlar. İçinde SVG sürümü, onu ve tamamlayıcısını vurgulamak için bir grafiğin üzerine gelin.

Tarih

Kurala erken bir referans, Summa de arithmetica (Venedik, 1494. Fol. 181, n. 44) Luca Pacioli (1445–1514). Kuralı, bir yatırımın ikiye katlanma süresinin tahmini ile ilgili bir tartışmada sunar, ancak kuralı türetmez veya açıklamaz ve bu nedenle, kuralın Pacioli'den bir süre önce olduğu varsayılır.

Bir voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, regola için tieni 72, bir mente, il quale semper partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6'da 100 l'anno, dico che si parta 6'da 72; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (vurgu eklendi).

Kabaca çevrildi:

Herhangi bir sermayenin, belirli bir yıllık yüzdede, kaç yıl içinde sermayeye faizi ikiye katlayacağını bilmek isterken, kural olarak [sayı] 72 aklınızda, hangisini her zaman ilgi ile böleceğiniz ve ne sonuçlanacağı, yıllar içinde iki katına çıkacak. Örnek: Faiz yıllık yüzde 6 olduğunda, 72'yi 6'ya böler derim; 12 sonuç ve 12 yıl içinde sermaye ikiye katlanacak.

Daha yüksek doğruluk için ayarlamalar

Daha yüksek oranlar için daha büyük pay daha iyi olurdu (örneğin,% 20 için, 3,8 yıl almak için 76 kullanmak sadece 0,002 indirim olurken, 3,6 almak için 72 kullanmak yaklaşık 0,2 indirim olur). Bunun nedeni, yukarıdaki gibi, 72 kuralının yalnızca% 6 ile% 10 arasındaki faiz oranları için doğru olan bir tahmin olmasıdır.

% 8'den uzak her üç yüzde puanı için 72 değeri 1 oranında ayarlanabilir:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {72+ (r-8) / 3} {r}}}$

veya aynı sonuç için:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {70+ (r-2) / 3} {r}}}$

Bu denklemlerin her ikisi de şunları basitleştirir:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {208} {3r}} + { frac {1} {3}}}$

Bunu not et ${ displaystyle { frac {208} {3}}}$ 69.3'e oldukça yakın.

E-M kuralı

Eckart-McHale ikinci derece kuralı (EM kuralı) 69.3 kuralı için çarpımsal bir düzeltme sağlar ki bu% 0 ile% 20 arasındaki oranlar için çok doğrudur, oysa kural normalde sadece faiz oranlarının en düşük ucunda doğrudur, % 0 ila yaklaşık% 5.

E-M yaklaşımını hesaplamak için 69.3 sonucun kuralını 200 / (200−r) aşağıdaki gibi:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {69.3} {r}} times { frac {200} {200-r}}}$.

Örneğin, faiz oranı% 18 ise, 69.3 kuralı verir t = 3.85 yıl, E-M kuralı ile çarpılır ${ displaystyle { frac {200} {182}}}$ (yani 200 / (200−18)) 4,23 yıllık ikiye katlama süresi verir. Bu oranda gerçek ikiye katlanma süresi 4.19 yıl olduğundan, E-M kuralı 72 kuralından daha yakın bir yaklaşım verir.

70 veya 72 kuralı için benzer bir düzeltme elde etmek için, paylardan biri belirlenebilir ve diğeri, ürünlerini yaklaşık olarak aynı tutacak şekilde ayarlanabilir. E-M kuralı aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {70} {r}} times { frac {198} {200-r}}}$ veya ${ displaystyle t yaklaşık { frac {72} {r}} times { frac {192} {200-r}}}$

Bu varyantlarda çarpımsal düzeltme, sırasıyla 70 ve 72 kurallarının en doğru olduğu değerler olan r = 2 ve r = 8 için 1 olur.

Padé yaklaşımı

Üçüncü derece Padé yaklaşımı daha geniş bir yelpazede daha doğru bir yanıt verir r, ancak biraz daha karmaşık bir formülü var:

${ displaystyle t yaklaşık { frac {69.3} {r}} times { frac {600 + 4r} {600 + r}}}$.

Türetme

Periyodik bileşik

İçin periyodik bileşik, gelecekteki değer tarafından verilir:

${ displaystyle FV = PV cdot (1 + r) ^ {t}}$

nerede ${ displaystyle PV}$ ... bugünkü değeri, ${ displaystyle t}$ zaman dilimlerinin sayısıdır ve ${ displaystyle r}$ dönem başına faiz oranı anlamına gelir.

Aşağıdaki koşul karşılandığında gelecekteki değer bugünkü değerin iki katıdır:

${ displaystyle (1 + r) ^ {t} = 2 ,}$

Bu denklem kolayca çözülür ${ displaystyle t}$:

${ displaystyle { başlar {dizi} {ccc} ln ((1 + r) ^ {t}) & = & ln 2 t ln (1 + r) & = & ln 2 t & = & { frac { ln 2} { ln (1 + r)}} end {dizi}}}$

Basit bir yeniden düzenleme şunları gösterir:

${ displaystyle { frac { ln {2}} { ln {(1 + r)}}} = { bigg (} { frac { ln 2} {r}} { bigg)} { bigg (} { frac {r} { ln (1 + r)}} { bigg)}}$

Eğer r küçük, sonra ln (1 + r) yaklaşık olarak eşittir r (bu, içindeki ilk terimdir Taylor serisi ). Yani, ikinci terim yavaş yavaş büyür ${ displaystyle r}$ sıfıra yakın.

Bu ikinci terimi çağırmak ${ displaystyle f (r)}$, işlev ${ displaystyle f (r)}$ yaklaşık olarak doğru olduğu gösterilmiştir ${ displaystyle t}$ küçük, pozitif bir faiz oranı için ${ displaystyle r = .08}$ (aşağıdaki türetime bakın). ${ displaystyle f (.08) yaklaşık 1.03949}$ve bu nedenle zamanı tahmin ediyoruz ${ displaystyle t}$ gibi:

${ displaystyle t = { bigg (} { frac { ln 2} {r}} { bigg)} f (.08) yaklaşık { frac {.72} {r}}}$

Yüzde olarak yazılan:

${ displaystyle { frac {.72} {r}} = { frac {72} {100r}}}$

Bu yaklaşım, doğrulukta artar. faizin bileşikleşmesi sürekli hale gelir (aşağıdaki türetime bakın). ${ displaystyle 100r}$ dır-dir ${ displaystyle r}$ olarak yazılmış yüzde.

Yukarıda sunulan daha kesin ayarlamaları türetmek için, not edilmelidir ki ${ displaystyle ln (1 + r) ,}$ daha yakından yaklaştırılır ${ displaystyle r - { frac {r ^ {2}} {2}}}$ (ikinci terimi kullanarak Taylor serisi ). ${ displaystyle { frac {0.693} {r-r ^ {2} / 2}}}$ Taylor yaklaşımları ile daha da basitleştirilebilir:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} { frac {0.693} {rr ^ {2} / 2}} & = & { frac {69.3} {RR ^ {2} / 200}} && & = & { frac {69.3} {R}} { frac {1} {1-R / 200}} && & yaklaşık & { frac {69.3 (1 + R / 200) } {R}} && & = & { frac {69.3} {R}} + { frac {69.3} {200}} && & = & { frac {69.3} {R }} + 0,3465 end {dizi}}}$

"R" harfinin değiştirilmesi R / 200 üçüncü satırda 7.79 ile payda 72 verir. Bu, 72 kuralının,% 8 civarında periyodik olarak bileşik faizler için en doğru olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde, "R" nin yerine R / 200 üçüncü satırda 2,02 ile payda 70 verir, 70 kuralının periyodik olarak bileşik faizler için en doğru olduğunu gösteren% 2 civarında.

Alternatif olarak, ikinci dereceden Taylor yaklaşımı doğrudan kullanılırsa E-M kuralı elde edilir.

Sürekli bileşim

İçin sürekli birleştirme türetme daha basittir ve daha doğru bir kural sağlar:

${ displaystyle { begin {array} {ccc} (e ^ {r}) ^ {p} & = & 2 e ^ {rp} & = & 2 ln e ^ {rp} & = & ln 2 rp & = & ln 2 p & = & { frac { ln 2} {r}} && p & yaklaşık & { frac {0.693147} {r}} end {dizi} }}$

Ayrıca bakınız

• Üstel büyüme
• Paranın zaman değeri
• Faiz
• İndirim
• 16 kuralı
• Üçün kuralı (istatistik)

Referanslar

Dış bağlantılar

• 70 Ölçekler - 72 kuralını sabit oranlı büyümenin ötesine, pozitif ve negatif oranları içeren değişken oranlı bileşik büyümeye doğru genişletir.