Kosinüslerin küresel yasası - Spherical law of cosines - Wikipedia

İçinde küresel trigonometri, kosinüs kanunu (ayrıca taraflar için kosinüs kuralı[1]), sıradan olana benzer, küresel üçgenlerin kenarlarını ve açılarını ilişkilendiren bir teoremdir. kosinüs kanunu uçaktan trigonometri.

Küresel üçgen, kosinüs yasasıyla çözüldü.

Bir birim küre verildiğinde, kürenin yüzeyindeki "küresel üçgen" şu şekilde tanımlanır: harika çevreler üç noktayı birleştirmek sen, v, ve w küre üzerinde (sağda gösterilmiştir). Bu üç tarafın uzunlukları a (kimden sen -e v), b (kimden sen -e w), ve c (kimden v -e w) ve karşısındaki köşenin açısı c dır-dir C, daha sonra (birinci) kosinüs küresel yasası şunu belirtir:[2][1]

Bu bir birim küre olduğu için uzunluklar a, b, ve c basitçe açılara eşittir (içinde radyan ) kürenin ortasından bu tarafların altındadır. (Birim olmayan bir küre için uzunluklar, alt eğimli açılar çarpı yarıçaptır ve formül hala geçerli ise a, b ve c alt eğimli açılar olarak yeniden yorumlanır). Özel bir durum olarak C = π/2, sonra çünkü C = 0ve biri küresel analoğunu elde eder Pisagor teoremi:

Kosinüs yasası çözmek için kullanılırsa ckosinüsü tersine çevirmenin gerekliliği büyür yuvarlama hataları ne zaman c küçük. Bu durumda, alternatif formülasyonu haversines kanunu tercih edilebilir.[3]

Kosinüslerin ikinci küresel yasası olan kosinüs yasasının bir varyasyonu,[4] (ayrıca açılar için kosinüs kuralı[1]) devletler:

nerede Bir ve B köşelerin kenarlara zıt açıları a ve b, sırasıyla. Bir dikkate alınarak elde edilebilir küresel üçgen ikili verilene.

Kanıtlar

İlk kanıt

İzin Vermek sen, v, ve w belirtmek birim vektörler kürenin merkezinden üçgenin bu köşelerine. Koordinat sistemi döndürülürse açılar ve mesafeler değişmez, böylece koordinat sistemini döndürebiliriz, böylece de Kuzey Kutbu ve üzerinde bir yerde ana meridyen (0'ın boylamı). Bu rotasyon ile küresel koordinatlar için vardır , nerede θ ekvatordan değil kuzey kutbundan ölçülen açı ve küresel koordinatlar vardır . Kartezyen koordinatları vardır ve kartezyen koordinatları vardır . Değeri iki Kartezyen vektörün iç çarpımıdır; .

İkinci kanıt

İzin Vermek sen, v, ve w belirtmek birim vektörler kürenin merkezinden üçgenin bu köşelerine. Sahibiz sen · sen = 1, v · w = cos c, sen · v = cos a, ve sen · w = cos b. Vektörler sen × v ve sen × w uzunlukları var günah a ve günah b sırasıyla ve aralarındaki açı C, yani

günah a günah b çünkü C = (sen × v) · (sen × w) = (sen · sen)(v · w) − (sen · v)(sen · w) = cos c - çünkü a çünkü b,

kullanma çapraz ürünler, nokta ürünler, ve Binet-Cauchy kimliği (p × q) · (r × s) = (p · r)(q · s) − (p · s)(q · r).

Yeniden düzenlemeler

Birinci ve ikinci kosinüs kanunları, kenarları yerleştirmek için yeniden düzenlenebilir (a, b, c) ve açılar (Bir, B, C) denklemlerin zıt taraflarında:

Düzlemsel sınır: küçük açılar

İçin küçük küresel üçgenler, yani küçük için a, b, ve ckosinüslerin küresel yasası, kosinüslerin sıradan düzlemsel yasası ile yaklaşık olarak aynıdır,

Bunu kanıtlamak için kullanacağız küçük açı yaklaşımı -den elde edildi Maclaurin serisi kosinüs ve sinüs fonksiyonları için:

Bu ifadeleri kosinüs ağlarının küresel yasasına koymak:

veya basitleştirdikten sonra:

büyük O için şartlar a ve b hakimdir Ö(a4) + Ö(b4) gibi a ve b küçük olsun, bu son ifadeyi şöyle yazabiliriz:

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ a b c W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner ve H. Küstner, VNR Kısa Matematik Ansiklopedisi, 2. baskı, ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).
  2. ^ Romuald Ireneus'un Scibor-Marchocki'si, Küresel trigonometri, Temel Geometri Trigonometri web sayfası (1997).
  3. ^ R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
  4. ^ Reiman, István (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. s. 83.