Stieltjes sabitleri - Stieltjes constants

Mavi bölgenin alanı, Euler – Mascheroni sabiti, 0th Stieltjes sabiti.

İçinde matematik, Stieltjes sabitleri sayılar ${ displaystyle gamma _ {k}}$ meydana gelen Laurent serisi genişlemesi Riemann zeta işlevi:

${ displaystyle zeta (s) = { frac {1} {s-1}} + toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n !}} gamma _ {n} (s-1) ^ {n}.}$

Sabit ${ displaystyle gamma _ {0} = gamma = 0,577 noktalar}$ olarak bilinir Euler – Mascheroni sabiti.

Beyanlar

Stieltjes sabitleri, limit

${ displaystyle gamma _ {n} = lim _ {m rightarrow infty} { sol { sum _ {k = 1} ^ {m} { frac {( ln k) ^ {n} } {k}} - { frac {( ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} sağ }}.}$

(Durumda n = 0, ilk özetin değerlendirilmesini gerektirir 0⁰ 1. olarak alınır.)

Cauchy'nin farklılaşma formülü integral gösterime götürür

${ displaystyle gamma _ {n} = { frac {(-1) ^ {n} n!} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- nix} zeta left (e ^ {ix} +1 sağ) dx.}$

İntegraller ve sonsuz seriler açısından çeşitli temsiller, eserlerinde verilmiştir. Jensen, Franel, Hermite, Hardy, Ramanujan, Ainsworth, Howell, Coppo, Connon, Coffey, Choi, Blagouchine ve diğer bazı yazarlar.^{[1][2][3][4][5][6]} Özellikle, genellikle hatalı bir şekilde Ainsworth ve Howell'e atfedilen Jensen-Franel'in integral formülü şunu belirtir:

${ displaystyle gamma _ {n} = { frac {1} {2}} delta _ {n, 0} + { frac {1} {i}} int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} -1}} left {{ frac {( ln (1-ix)) ^ {n}} {1-ix}} - { frac {( ln (1 + ix)) ^ {n}} {1 + ix}} right } ,, qquad quad n = 0,1,2, ldots}$

nerede δ_{n, k} ... Kronecker sembolü (Kronecker delta).^[5][6] Diğer formüller arasında buluyoruz

${ displaystyle gamma _ {n} = - { frac { pi} {2 (n + 1)}} int _ {- infty} ^ { infty} { frac { left ( ln sol ({ frac {1} {2}} pm ix sağ) sağ) ^ {n + 1}} { cosh ^ {2} pi x}} , dx qquad qquad qquad qquad qquad qquad n = 0,1,2, ldots}$

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {1} = - left [ gamma - { frac { ln 2} {2}} right] ln 2 + i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ { pi x} +1}} left {{ frac { ln (1-ix)} {1-ix}} - { frac { ln (1 + ix)} {1 + ix}} sağ } [6mm] displaystyle gamma _ {1} = - gama ^ {2} - int _ {0} ^ { infty} sol [{ frac {1} {1-e ^ {- x}}} - { frac {1} {x}} sağ] e ^ {- x} ln x , dx end {dizi}}}$

görmek.^[1][5][7]

Seri temsillerle ilgili olarak, bir logaritmanın tamsayı kısmını ima eden ünlü bir dizi, Hardy 1912'de^[8]

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac { ln 2} {2}} sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k}} {k }} lfloor log _ {2} {k} rfloor cdot left (2 log _ {2} {k} - lfloor log _ {2} {2k} rfloor right)}$

İsrailov^[9] yarı yakınsak seriler verdi Bernoulli sayıları ${ displaystyle B_ {2k}}$

${ displaystyle gamma _ {m} = toplam _ {k = 1} ^ {n} { frac {( ln k) ^ {m}} {k}} - { frac {( ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} - { frac {( ln n) ^ {m}} {2n}} - toplamı _ {k = 1} ^ {N-1} { frac {B_ {2k}} {(2k)!}} Sol [{ frac {( ln x) ^ {m}} {x}} sağ] _ {x = n} ^ {(2k-1) } - theta cdot { frac {B_ {2N}} {(2N)!}} left [{ frac {( ln x) ^ {m}} {x}} right] _ {x = n} ^ {(2N-1)} ,, qquad 0 < theta <1}$

Connon,^[10] Blagouchine^[6][11] ve Coppo^[1] ile birkaç dizi verdi iki terimli katsayılar

${ displaystyle { begin {dizi} {l} displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 1}} toplam _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} ( ln (k + 1)) ^ { m + 1} [7 mm] displaystyle gama _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 2}} toplam _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m + 1}} {k + 1}} [7 mm] displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {m + 1}} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n + 1} toplam _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} ( ln (k + 2)) ^ {m +1} [7mm] displaystyle gamma _ {m} = toplamı _ {n = 0} ^ { infty} sol | G_ {n + 1} sağ | toplamı _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} end {dizi }}}$

nerede G_n vardır Gregory katsayıları, Ayrıca şöyle bilinir karşılıklı logaritmik sayılar (G₁=+1/2, G₂=−1/12, G₃=+1/24, G₄= -19 / 720, ...). Aynı nitelikteki daha genel seriler bu örnekleri içerir^[11]

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {( ln (1 + a)) ^ {m + 1}} {m + 1}} + toplamı _ {n = 0} ^ { infty } (- 1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a) toplam _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}}, quad Re (a)> - 1}$

ve

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {r (m + 1)}} toplamı _ {l = 0} ^ {r-1} ( ln (1 + a + l) ) ^ {m + 1} + { frac {1} {r}} toplam _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} N_ {n + 1, r} (a) toplam _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k +1}}, quad Re (a)> - 1, ; r = 1,2,3, ldots}$

veya

${ displaystyle gamma _ {m} = - { frac {1} {{ tfrac {1} {2}} + a}} sol {{ frac {(-1) ^ {m}} { m + 1}} , zeta ^ {(m + 1)} (0,1 + a) - (- 1) ^ {m} zeta ^ {(m)} (0) - toplam _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} psi _ {n + 2} (a) toplamı _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} { frac {( ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} sağ }, quad Re (a)> - 1}$

nerede ψ_n(a) bunlar İkinci türden Bernoulli polinomları ve N_{n, r}(a) üreten denklem tarafından verilen polinomlardır

${ displaystyle { frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} { ln (1 + z)}} = toplam _ {n = 0} ^ { infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, qquad | z | <1,}$

sırasıyla (unutmayın N_{n, 1}(a) = ψ_n(a)).^[12]Oloa ve Tauraso^[13] o seriyi gösterdi harmonik sayılar Stieltjes sabitlerine yol açabilir

${ displaystyle { begin {dizi} {l} displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} - ( gamma + ln n)} {n}} = - gamma _ {1} - { frac {1} {2}} gamma ^ {2} + { frac {1} {12}} pi ^ {2} [6mm] displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {H_ {n} ^ {2} - ( gamma + ln n) ^ {2}} {n}} = - gamma _ {2} - 2 gamma gamma _ {1} - { frac {2} {3}} gamma ^ {3} + { frac {5} {3}} zeta (3) end {dizi}}}$

Blagouchine^[6] işaretsiz içeren yavaş yakınsak seriler elde edildi Birinci türden Stirling sayıları${ displaystyle sol [{ cdot atop cdot} sağ]}$

${ displaystyle gamma _ {m} = { frac {1} {2}} delta _ {m, 0} + { frac {(-1) ^ {m} m!} { pi}} toplam _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n cdot n!}} sum _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor} { frac {(- 1) ^ {k} cdot left [{2k + 2 atop m + 1} right] cdot left [{n atop 2k + 1} right]} {(2 pi) ^ {2k +1}}} ,, qquad m = 0,1,2, ...,}$

yanı sıra sadece rasyonel terimlerle yarı yakınsak seriler

${ displaystyle gamma _ {m} = { frac {1} {2}} delta _ {m, 0} + (- 1) ^ {m} m! cdot sum _ {k = 1} ^ {N} { frac { left [{2k atop m + 1} right] cdot B_ {2k}} {(2k)!}} + Theta cdot { frac {(-1) ^ { m} m! cdot left [{2N + 2 atop m + 1} right] cdot B_ {2N + 2}} {(2N + 2)!}}, qquad 0 < theta <1, }$

nerede m= 0,1,2, ... Özellikle, ilk Stieltjes sabiti için seriler şaşırtıcı derecede basit bir forma sahiptir

${ displaystyle gama _ {1} = - { frac {1} {2}} toplamı _ {k = 1} ^ {N} { frac {B_ {2k} cdot H_ {2k-1}} {k}} + theta cdot { frac {B_ {2N + 2} cdot H_ {2N + 1}} {2N + 2}}, qquad 0 < theta <1,}$

nerede H_n ... ninci harmonik sayı.^[6]Stieltjes sabitleri için daha karmaşık seriler Lehmer, Liang, Todd, Lavrik, Israilov, Stankus, Keiper, Nan-You, Williams, Coffey'nin eserlerinde verilmiştir.^[2][3][6]

Sınırlar ve asimptotik büyüme

Stieltjes sabitleri sınırı karşılar

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { begin {case} displaystyle { frac {2 (n-1)!} { pi ^ {n}}} ,, qquad & n = 1 , 3,5, ldots [3 mm] displaystyle { frac {4 (n-1)!} { Pi ^ {n}}} ,, qquad & n = 2,4,6, ldots end {vakalar}}}$

1972'de Berndt tarafından verilmiştir.^[14] Temel işlevler açısından daha iyi sınırlar Lavrik tarafından elde edildi^[15]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { frac {n!} {2 ^ {n + 1}}}, qquad n = 1,2,3, ldots}$

İsrailov tarafından^[9]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { frac {n! C (k)} {(2k) ^ {n}}}, qquad n = 1,2,3, ldots}$

ile k= 1,2, ... ve C(1)=1/2, C(2) = 7/12, ..., Nan-You ve Williams^[16]

${ displaystyle | gamma _ {n} | leq { begin {case} displaystyle { frac {2 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 pi) ^ {n}}} ,, qquad & n = 1,3,5, ldots [4mm] displaystyle { frac {4 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 pi) ^ {n}} } ,, qquad & n = 2,4,6, ldots end {vakalar}}}$

Blagouchine tarafından^[6]

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle - { frac {{ big |} {B} _ {m + 1} { big |}} {m + 1}} < gamma _ { m} <{ frac {(3m + 8) cdot { big |} {B} _ {m + 3} { big |}} {24}} - { frac {{ big |} {B } _ {m + 1} { büyük |}} {m + 1}}, & m = 1,5,9, ldots [12pt] displaystyle { frac {{ big |} B_ {m + 1} { büyük |}} {m + 1}} - { frac {(3m + 8) cdot { big |} B_ {m + 3} { big |}} {24}} < gamma _ {m} <{ frac {{ big |} {B} _ {m + 1} { big |}} {m + 1}}, & m = 3,7,11, ldots [12pt ] displaystyle - { frac {{ büyük |} {B} _ {m + 2} { büyük |}} {2}} < gamma _ {m} <{ frac {(m + 3) ( m + 4) cdot { büyük |} {B} _ {m + 4} { big |}} {48}} - { frac {{ big |} B_ {m + 2} { big | }} {2}}, qquad & m = 2,6,10, ldots [12pt] displaystyle { frac {{ big |} {B} _ {m + 2} { big |}} {2}} - { frac {(m + 3) (m + 4) cdot { big |} {B} _ {m + 4} { big |}} {48}} < gamma _ { m} <{ frac {{ büyük |} {B} _ {m + 2} { big |}} {2}}, & m = 4,8,12, ldots end {dizi}} }$

nerede B_n vardır Bernoulli sayıları ve Matsuoka tarafından^[17][18]

${ displaystyle | gamma _ {n} | <10 ^ {- 4} e ^ {n ln ln n} ,, qquad n = 5,6,7, ldots}$

Temel olmayan fonksiyonlara ve çözümlere başvuran tahminlerle ilgili olarak, Knessl, Coffey^[19] ve Fekih-Ahmed^[20] oldukça doğru sonuçlar elde etti. Örneğin, Knessl ve Coffey, büyük için Stieltjes sabitlerine nispeten iyi yaklaşan aşağıdaki formülü verir. n.^[19] Eğer v eşsiz çözümü

${ displaystyle 2 pi exp (v tan v) = n { frac { cos (v)} {v}}}$

ile ${ displaystyle 0$, ve eğer ${ displaystyle u = v tan v}$, sonra

${ displaystyle gamma _ {n} sim { frac {B} { sqrt {n}}} e ^ {nA} cos (an + b)}$

nerede

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} ln (u ^ {2} + v ^ {2}) - { frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2}} }}$

${ displaystyle B = { frac {2 { sqrt {2 pi}} { sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}} {[(u + 1) ^ {2} + v ^ {2}] ^ {1/4}}}}$

${ displaystyle a = tan ^ {- 1} sol ({ frac {v} {u}} sağ) + { frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2}}}}$

${ displaystyle b = tan ^ {- 1} sol ({ frac {v} {u}} sağ) - { frac {1} {2}} sol ({ frac {v} {u +1}} sağ).}$

N = 100000'e kadar, Knessl-Coffey yaklaşımı, γ'nin işaretini doğru bir şekilde tahmin eder._n n = 137 tek istisna ile.^[19]

Sayısal değerler

İlk birkaç değer:

n	yaklaşık of değerin	OEIS
0	+0.5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	−0.0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	−0.0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0.0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	−0.0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	−0.0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	−0.0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	−0.0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	−4.2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000	−1.5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

Büyük için nStieltjes sabitleri, mutlak değerde hızla büyür ve karmaşık bir modelde işaretleri değiştirir.

Stieltjes sabitlerinin sayısal değerlendirmesiyle ilgili daha fazla bilgi Keiper'in çalışmalarında bulunabilir,^[21] Kreminski,^[22] Plouffe,^[23] Johansson^[24][25] ve Blagouchine.^[25] İlk olarak, Johansson, Stieltjes sabitlerinin değerlerini verdi. n = 100000, her biri 10000 basamaktan fazla doğru (sayısal değerler LMFDB [1]. Daha sonra, Johansson ve Blagouchine, genelleştirilmiş Stieltjes sabitlerini (aşağıya bakınız) büyük boyutlarda hesaplamak için özellikle verimli bir algoritma tasarladılar. n ve karmaşık a, sıradan Stieltjes sabitleri için de kullanılabilir.^[25] Özellikle, birinin hesaplamasına izin verir γ_n herhangi biri için dakikada 1000 haneye kadar n kadar n=10¹⁰⁰.

Genelleştirilmiş Stieltjes sabitleri

Genel bilgi

Daha genel olarak, Stieltjes sabitleri tanımlanabilir_n(a) meydana gelen Laurent serisi genişlemesi Hurwitz zeta işlevi:

${ displaystyle zeta (s, a) = { frac {1} {s-1}} + toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.}$

Buraya a bir karmaşık sayı Re ile birlikte(a)> 0. Hurwitz zeta fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonunun bir genellemesi olduğundan, γ_n(1) = γ_n Sıfırıncı sabiti basitçe digamma işlevi γ₀(bir) = - Ψ (bir),^[26] diğer sabitlerin herhangi bir temel veya klasik analiz işlevine indirgenebileceği bilinmemektedir. Bununla birlikte, onlar için sayısız temsiller var. Örneğin, aşağıdaki asimptotik temsil vardır

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = lim _ {m ila infty} sol { toplamı _ {k = 0} ^ {m} { frac {( ln (k + a )) ^ {n}} {k + a}} - { frac {( ln (m + a)) ^ {n + 1}} {n + 1}} sağ }, qquad { begin {dizi} {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] a neq 0, -1, -2, ldots end {dizi}}}$

Berndt ve Wilton nedeniyle. Jensen-Franel'in genelleştirilmiş Stieltjes sabiti için formülünün analoğu şudur: Hermite formül^[5]

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = sol [{ frac {1} {2a}} - { frac { ln {a}} {n + 1}} sağ] ( ln a ) ^ {n} -i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} -1}} left {{ frac {( ln (a -ix)) ^ {n}} {a-ix}} - { frac {( ln (a + ix)) ^ {n}} {a + ix}} sağ }, qquad { begin {dizi} {l} n = 0,1,2, ldots [1 mm] Re (a)> 0 end {dizi}}}$

Benzer gösterimler aşağıdaki formüllerle verilmiştir:^[25]

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = - { frac {{ büyük (} ln (a - { frac {1} {2}}) { büyük)} ^ {n + 1} } {n + 1}} + i int _ {0} ^ { infty} { frac {dx} {e ^ {2 pi x} +1}} left {{ frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}} - ix) { büyük)} ^ {n}} {a - { frac {1} {2}} - ix}} - { frac {{ big (} ln (a - { frac {1} {2}} + ix) { big)} ^ {n}} {a - { frac {1} {2}} + ix }} right }, qquad { begin {array} {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] Re (a)> { frac {1} {2}} son {dizi}}}$

ve

${ displaystyle gamma _ {n} (a) = - { frac { pi} {2 (n + 1)}} int _ {0} ^ { infty} { frac {{ büyük (} ln (a - { frac {1} {2}} - ix) { büyük)} ^ {n + 1} + { big (} ln (a - { frac {1} {2}} + ix) { büyük)} ^ {n + 1}} {{ big (} cosh ( pi x) { big)} ^ {2}}} , dx, qquad { begin {dizi } {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] Re (a)> { frac {1} {2}} end {dizi}}}$

Genelleştirilmiş Stieltjes sabitleri aşağıdaki tekrarlama ilişkisini karşılar

${ displaystyle gamma _ {n} (a + 1) = gamma _ {n} (a) - { frac {( ln a) ^ {n}} {a}} ,, qquad { başla {dizi} {l} n = 0,1,2, ldots [1mm] a neq 0, -1, -2, ldots end {dizi}}}$

yanı sıra çarpım teoremi

${ displaystyle toplamı _ {l = 0} ^ {n-1} gamma _ {p} sol (a + { frac {l} {n}} sağ) = (- 1) ^ {p} n sol [{ frac { ln n} {p + 1}} - Psi (an) sağ] ( ln n) ^ {p} + n toplam _ {r = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {r} { binom {p} {r}} gamma _ {pr} (an) cdot ( ln n) ^ {r} ,, qquad qquad n = 2, 3,4, ldots}$

nerede ${ displaystyle { binom {p} {r}}}$ gösterir binom katsayısı (görmek^[27] ve,^[28] s. 101–102).

İlk genelleştirilmiş Stieltjes sabiti

İlk genelleştirilmiş Stieltjes sabiti bir dizi dikkate değer özelliğe sahiptir.

• Malmsten'in kimliği (ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabitleri için yansıma formülü): ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabiti için yansıma formülü aşağıdaki forma sahiptir

${ displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {m} {n}} { biggr)} - gamma _ {1} { biggl (} 1 - { frac {m} { n}} { biggr)} = 2 pi sum _ {l = 1} ^ {n-1} sin { frac {2 pi ml} {n}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {n}} { biggr)} - pi ( gamma + ln 2 pi n) cot { frac {m pi} {n}}}$

nerede m ve n pozitif tamsayılardır öyle ki m<nBu formül uzun zamandır onu 1990'larda türeten Almkvist ve Meurman'a atfedilmiştir.^[29] Ancak son zamanlarda biraz farklı bir biçimde de olsa bu kimliğin ilk olarak Carl Malmsten 1846'da.^[5][30]

• Rasyonel argümanlar teoremi: rasyonel argümandaki ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabiti, aşağıdaki formül aracılığıyla yarı kapalı bir biçimde değerlendirilebilir

${ displaystyle { begin {dizi} {ll} displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + gamma ^ {2} + gamma ln 2 pi m + ln 2 pi cdot ln {m} + { frac {1} {2}} ( ln m) ^ {2} + ( gamma + ln 2 pi m) cdot Psi sol ({ frac {r} {m}} sağ) [5mm] displaystyle ve displaystyle qquad + pi toplamı _ {l = 1} ^ {m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} + sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' left (0, { frac {l} {m} } sağ) end {dizi}} ,, qquad quad r = 1,2,3, ldots, m-1 ,.}$

bkz Blagouchine.^[5][26] Alternatif bir kanıt daha sonra Coffey tarafından önerildi^[31] ve diğer birkaç yazar.

• Sonlu toplamlar: ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabitleri için çok sayıda toplama formülü vardır. Örneğin,

${ displaystyle { begin {array} {ll} displaystyle sum _ {r = 0} ^ {m-1} gamma _ {1} left (a + { frac {r} {m}} sağ ) = m ln {m} cdot Psi (am) - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} + m gamma _ {1} (am) ,, qquad a , mathbb {C} [6mm] displaystyle toplamı _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} sol ({ frac {r} {m}} sağ) = (m-1) gamma _ {1} -m gamma ln {m} - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {2m}} { biggr)} = - gama _ {1} + m (2 gama + ln 2 + 2 ln m) ln 2 [6mm] displaystyle toplamı _ {r = 0} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} gamma _ {1} { biggl (} { frac {2r + 1} {4m}} { biggr)} = m left {4 pi ln Gamma { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} - pi { big (} 4 ln 2 + 3 ln pi + ln m + gamma { big)} sağ } [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} cdot cos { dfrac {2 pi rk} {m}} = - gamma _ {1} + m ( gamma + ln 2 pi m) ln left (2 sin { frac {k pi} { m}} right) + { frac {m} {2}} left { zeta '' left (0, { frac {k} {m}} sağ) + zeta '' sol (0,1 - { frac {k} {m}} sağ) sağ } ,, qquad k = 1,2, ld ots, m-1 [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr )} cdot sin { dfrac {2 pi rk} {m}} = { frac { pi} {2}} ( gamma + ln 2 pi m) (2k-m) - { frac { pi m} {2}} left { ln pi - ln sin { frac {k pi} {m}} sağ } + m pi ln Gamma { biggl (} { frac {k} {m}} { biggr)} ,, qquad k = 1,2, ldots, m-1 [6mm] displaystyle sum _ {r = 1} ^ {m-1} gamma _ {1} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} cdot cot { frac { pi r} {m}} = displaystyle { frac { pi} {6}} { Büyük {} (1-m) (m-2) gamma +2 (m ^ {2} -1) ln 2 pi - (m ^ { 2} +2) ln {m} { Büyük }} - 2 pi sum _ {l = 1} ^ {m-1} l cdot ln Gama left ({ frac {l} {m}} sağ) [6 mm] displaystyle toplam _ {r = 1} ^ {m-1} { frac {r} {m}} cdot gamma _ {1} { biggl ( } { frac {r} {m}} { biggr)} = { frac {1} {2}} left {(m-1) gamma _ {1} -m gamma ln {m } - { frac {m} {2}} ( ln m) ^ {2} right } - { frac { pi} {2m}} ( gamma + ln 2 pi m) toplam _ {l = 1} ^ {m-1} l cdot cot { frac { pi l} {m}} - { frac { pi} {2}} sum _ {l = 1} ^ {m-1} cot { frac { pi l} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} end {dizi} }}$

Daha fazla ayrıntı ve daha fazla toplama formülü için bkz.^[5][28]

• Bazı belirli değerler: rasyonel argümanlarda ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabitinin bazı belirli değerleri, gama işlevi ilk Stieltjes sabiti ve temel fonksiyonlar. Örneğin,

${ displaystyle gamma _ {1} sol ({ frac {1} {2}} sağ) = - 2 gamma ln 2 - ( ln 2) ^ {2} + gamma _ {1} = -1,353459680 ldots}$

1/4, 3/4 ve 1/3 noktalarında, ilk genelleştirilmiş Stieltjes sabitlerinin değerleri bağımsız olarak Connon tarafından elde edildi^[32] ve Blagouchine^[28]

${ displaystyle { begin {array} {l} displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {4}} sağ) = 2 pi ln Gamma sol ({ frac {1} {4}} sağ) - { frac {3 pi} {2}} ln pi - { frac {7} {2}} ( ln 2) ^ {2} - (3 gamma +2 pi) ln 2 - { frac { gamma pi} {2}} + gamma _ {1} = - 5.518076350 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} sol ({ frac {3} {4}} sağ) = - 2 pi ln Gamma left ({ frac {1} {4}} sağ) + { frac {3 pi} { 2}} ln pi - { frac {7} {2}} ( ln 2) ^ {2} - (3 gamma -2 pi) ln 2 + { frac { gamma pi} {2}} + gamma _ {1} = - 0,3912989024 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {3}} sağ) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} + { frac { pi} {4 { sqrt {3}}} } left { ln 3-8 ln 2 pi -2 gamma +12 ln Gamma left ({ frac {1} {3}} sağ) sağ } + gamma _ { 1} = - 3,259557515 ldots end {dizi}}}$

2/3, 1/6 ve 5/6 noktalarında

${ displaystyle { begin {dizi} {l} displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {2} {3}} sağ) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} - { frac { pi} {4 { sqrt {3}}}} left { ln 3- 8 ln 2 pi -2 gamma +12 ln Gamma left ({ frac {1} {3}} right) right } + gamma _ {1} = - 0.5989062842 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {1} {6}} sağ) = - { frac {3 gamma} {2}} ln 3 - { frac {3 } {4}} ( ln 3) ^ {2} - ( ln 2) ^ {2} - (3 ln 3 + 2 gamma) ln 2 + { frac {3 pi { sqrt { 3}}} {2}} ln Gama sol ({ frac {1} {6}} sağ) [5mm] displaystyle qquad qquad quad - { frac { pi} { 2 { sqrt {3}}}} left {3 ln 3 + 11 ln 2 + { frac {15} {2}} ln pi +3 gamma right } + gamma _ {1} = - 10.74258252 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} left ({ frac {5} {6}} sağ) = - { frac {3 gamma} {2} } ln 3 - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} - ( ln 2) ^ {2} - (3 ln 3 + 2 gamma) ln 2- { frac {3 pi { sqrt {3}}} {2}} ln Gama sol ({ frac {1} {6}} sağ) [6mm] displaystyle qquad qquad dörtlü + { frac { pi} {2 { sqrt {3}}}} left {3 ln 3 + 11 ln 2 + { frac {15} {2}} ln pi +3 gama right } + gamma _ {1} = - 0,2461690038 ldots end {dizi}}}$

Bu değerler Blagouchine tarafından hesaplandı.^[28] Aynı yazara da ödenmesi gereken

${ displaystyle { begin {dizi} {ll} displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {5}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { frac { sqrt {5}} {2}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {5}} sağ) + zeta '' left (0 , { frac {4} {5}} right) right } + { frac { pi { sqrt {10 + 2 { sqrt {5}}}}} {2}} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {5}} { biggr)} [5mm] & displaystyle + { frac { pi { sqrt {10-2 { sqrt {5}}} }} {2}} ln Gama { biggl (} { frac {2} {5}} { biggr)} + ​​ left {{ frac { sqrt {5}} {2}} ln {2} - { frac { sqrt {5}} {2}} ln { big (} 1 + { sqrt {5}} { big)} - { frac {5} {4} } ln 5 - { frac { pi { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}}} {10}} sağ } cdot gamma [5mm] & displaystyle - { frac { sqrt {5}} {2}} left { ln 2+ ln 5+ ln pi + { frac { pi { sqrt {25-10 { sqrt {5}} }}} {10}} right } cdot ln { big (} 1 + { sqrt {5}}) + { frac { sqrt {5}} {2}} ( ln 2) ^ {2} + { frac {{ sqrt {5}} { big (} 1 - { sqrt {5}} { büyük)}} {8}} ( ln 5) ^ {2} [5mm] & displaystyle + { frac {3 { sqrt {5}}} {4}} ln 2 cdot ln 5 + { frac { sqrt {5}} {2}} ln 2 cdot ln pi + { frac { sqrt {5}} {4}} ln 5 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 2 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} + 5 { sqrt {25 + 2 { sqrt {5}} }} { büyük)}} {20}} ln 2 [5mm] & displaystyle - { frac { pi { big (} 4 { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}} }} - 5 { sqrt {5 + 2 { sqrt {5}}}} { big)}} {40}} ln 5 - { frac { pi { big (} 5 { sqrt { 5 + 2 { sqrt {5}}}} + { sqrt {25 + 10 { sqrt {5}}}} { büyük)}} {10}} ln pi [5mm] & displaystyle = -8.030205511 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {8}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { sqrt {2}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {8}} right) + zeta '' left (0, { frac {7} { 8}} right) right } + 2 pi { sqrt {2}} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {8}} { biggr)} - pi { sqrt {2}} { büyük (} 1 - { sqrt {2}} { big)} ln Gamma { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} [5mm] & displaystyle - sol {{ frac {1 + { sqrt {2}}} {2}} pi +4 ln {2} + { sqrt {2}} ln { büyük (} 1 + { sqrt {2}} { big)} right } cdot gamma - { frac {1} { sqrt {2}}} { big (} pi +8 ln 2 + 2 ln pi { büyük)} cdot ln { büyük (} 1 + { sqrt {2}}) [5mm] ve displaystyle - { frac {7 { büyük ( } 4 - { sqrt {2}} { büyük)}} {4}} ( ln 2) ^ {2} + { frac {1} { sqrt {2}}} ln 2 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 10 + 11 { sqrt {2}} { büyük)}} {4}} ln 2 - { frac { pi { big (} 3 + 2 { sqrt {2}} { büyük)}} {2}} ln pi [5mm] & displaystyle = -16.64171976 ldots [6mm] displaystyle gamma _ {1} { biggl (} { frac {1} {12}} { biggr)} = & displaystyle gamma _ {1} + { sqrt {3}} left { zeta '' left (0, { frac {1} {12}} sağ) + zeta '' sol (0, { frac {11} {12}} sağ) sağ } + 4 pi ln Gama { biggl (} { frac {1} {4}} { biggr)} + ​​3 pi { sqrt {3}} ln Gama { biggl (} { frac {1} {3}} { biggr)} [5mm] & displaystyle - sol {{ frac { 2 + { sqrt {3}}} {2}} pi + { frac {3} {2}} ln 3 - { sqrt {3}} (1 - { sqrt {3}}) ln {2} +2 { sqrt {3}} ln { büyük (} 1 + { sqrt {3}} { büyük)} sağ } cdot gamma [5 mm] ve displaystyle -2 { sqrt {3}} { big (} 3 ln 2+ ln 3+ ln pi { big)} cdot ln { big (} 1 + { sqrt {3}} ) - { frac {7-6 { sqrt {3}}} {2}} ( ln 2) ^ {2} - { frac {3} {4}} ( ln 3) ^ {2} [5mm] & displaystyle + { frac {3 { sqrt {3}} (1 - { sqrt {3}})} {2}} ln 3 cdot ln 2 + { sqrt { 3}} ln 2 cdot ln pi - { frac { pi { big (} 17 +8 { sqrt {3}} { büyük)}} {2 { sqrt {3}}}} ln 2 [5mm] & displaystyle + { frac { pi { big (} 1 - { sqrt {3}} { büyük)} { sqrt {3}}} {4}} ln 3- pi { sqrt {3}} (2 + { sqrt {3}}) ln pi = -29.84287823 ldots end {dizi}}}$

İkinci genelleştirilmiş Stieltjes sabiti

İkinci genelleştirilmiş Stieltjes sabiti, birinci sabitten çok daha az çalışılmıştır. İlk genelleştirilmiş Stieltjes sabitine benzer şekilde, rasyonel argümandaki ikinci genelleştirilmiş Stieltjes sabiti aşağıdaki formülle değerlendirilebilir

${ displaystyle { begin {dizi} {rl} displaystyle gamma _ {2} { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} = gamma _ {2} + { frac {2} {3}} sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' ' left (0, { frac {l} {m}} right) -2 ( gamma + ln 2 pi m) sum _ {l = 1} ^ {m-1} cos { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' sol (0, { frac {l} {m}} sağ) [6mm] displaystyle quad + pi sum _ {l = 1} ^ { m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot zeta '' left (0, { frac {l} {m}} right) -2 pi ( gamma + ln 2 pi m) sum _ {l = 1} ^ {m-1} sin { frac {2 pi rl} {m}} cdot ln Gamma { biggl (} { frac {l} {m}} { biggr)} - 2 gamma _ {1} ln {m} [6mm] displaystyle quad - gamma ^ {3} - sol [( gamma + ln 2 pi m) ^ {2} - { frac { pi ^ {2}} {12}} sağ] cdot Psi { biggl (} { frac {r} {m}} { biggr)} + ​​{ frac { pi ^ {3}} {12}} cot { frac { pi r} {m}} - gamma ^ {2} ln { big (} 4 pi ^ {2} m ^ {3} { büyük)} + { frac { pi ^ {2}} {12}} ( gamma + ln {m}) [6mm] displaystyle quad - gamma { big (} ( ln 2 pi) ^ {2} +4 ln m cdot ln 2 pi +2 ( ln m) ^ {2} { big)} - sol {( ln 2 pi) ^ {2} +2 ln 2 pi cdot ln m + { frac { 2} {3}} ( ln m) ^ {2} right } ln m end {dizi}} ,, qquad quad r = 1,2,3, ldots, m-1. }$

bkz Blagouchine.^[5]Eşdeğer bir sonuç daha sonra başka bir yöntemle Coffey ile elde edildi.^[31]

Referanslar