Stokes paradoksu - Stokes paradox - Wikipedia

Biliminde sıvı akışı, Stokes paradoksu sürünen bir akış olamayacağı olgusudur. sıvı iki boyutlu bir diskin etrafında; veya eşdeğer olarak, bunun için önemsiz olmayan bir kararlı durum çözümünün olmaması Stokes denklemleri sonsuz uzunlukta bir silindir etrafında. Bu, Stokes'un yönteminin bir küre etrafındaki akış sorununa bir çözüm sağladığı 3 boyutlu duruma zıttır.[1][2]

Türetme

Hız vektörü of sıvı açısından yazılabilir akış işlevi gibi

Stokes akış probleminde akım işlevi olarak, tatmin eder biharmonik denklem.[3] Uçak, karmaşık düzlem sorun, aşağıdaki yöntemler kullanılarak çözülebilir: karmaşık analiz. Bu yaklaşımda, ya gerçek veya hayali kısım nın-nin

.[4]

Buraya , nerede ... hayali birim , ve vardır holomorf fonksiyonlar diskin dışında. Biz gerçek kısmı alacağız genelliği kaybetmeden Şimdi fonksiyon , tarafından tanımlanan tanıtıldı. olarak yazılabilir veya (kullanmak Wirtinger türevleri Bu eşit olacak şekilde hesaplanır

Genellik kaybı olmaksızın, diskin şu varsayılabilir: birim disk hepsinden oluşan Karışık sayılar z nın-nin mutlak değer 1'e eşit veya daha küçük.

sınır şartları şunlardır:

her ne zaman ,[1][5]ve işlevleri temsil ederek gibi Laurent serisi:[6]

ilk koşul ima eder hepsi için .

Kutupsal biçimini kullanma sonuçlanır Seri şeklini çıkardıktan sonra sen, bununla birlikte bunun yerine ve bazı endeksleri değiştirerek, ikinci sınır koşulu şu anlama gelir:

Karmaşık trigonometrik fonksiyonlardan beri oluşturmak Doğrusal bağımsız set, serideki tüm katsayıların sıfır olduğunu izler. sonsuzdaki koşulu hesaba kattıktan sonra şunu gösterir: ve zorunlu olarak formda

nerede hayali bir sayıdır (kendisinin tersi) karmaşık eşlenik ), ve ve karmaşık sayılardır. Bunu yerine koyuyorum sonucu verir küresel olarak, ikisini de zorlayan ve sıfır olmak. Bu nedenle, hareket olamaz - tek çözüm, silindirin sıvının tüm noktalarına göre hareketsiz olmasıdır.

çözüm

Paradoks, Stokes yaklaşımının sınırlı geçerliliğinden kaynaklanmaktadır. Oseen's eleştiri: Stokes denklemlerinin geçerliliği dayanır Reynolds sayısı küçük olmak ve bu durum keyfi olarak büyük mesafeler için geçerli olamaz .[7][2]

Bir silindir için doğru bir çözüm kullanılarak elde edildi Oseen'in denklemleri ve aynı denklemler, bir küre üzerinde sürükleme kuvveti.[8][9]

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ a b Kuzu, Horace (1945). Hidrodinamik (Altıncı baskı). New York: Dover Yayınları. pp.602–604.
  2. ^ a b Van Dyke Milton (1975). Akışkanlar Mekaniğinde Pertürbasyon Yöntemleri. Parabolik Basın.
  3. ^ Kuzu, Horace (1945). Hidrodinamik (Altıncı baskı). New York: Dover Yayınları. pp.602.
  4. ^ Weisstein, Eric W. (2002). CRC Muhtasar Matematik Ansiklopedisi. CRC Basın. ISBN  1584883472.
  5. ^ Kuzu, Horace (1945). Hidrodinamik (Altıncı baskı). New York: Dover Yayınları. pp.615.
  6. ^ Sarason Donald (1994). Karmaşık Fonksiyon Teorisi Üzerine Notlar. Berkeley, Kaliforniya.
  7. ^ Kuzu, Horace (1945). Hidrodinamik (Altıncı baskı). New York: Dover Yayınları. pp.608–609.
  8. ^ Kuzu, Horace (1945). Hidrodinamik (Altıncı baskı). New York: Dover Yayınları. pp.609–616.
  9. ^ Goldstein, Sidney (1965). Akışkanlar Dinamiğinde Modern Gelişmeler. Dover Yayınları.