Sabit sayı - Thabit number

İçinde sayı teorisi, bir Sabit sayı, Thâbit ibn Kurrah numarasıveya 321 numara formun bir tamsayıdır ${ displaystyle 3 cdot 2 ^ {n} -1}$ için negatif olmayan tam sayı n.

İlk birkaç Sabit sayı:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, ... (dizi A055010 içinde OEIS )

9. Yüzyıl matematikçi, doktor, astronom ve çevirmen Thābit ibn Kurra bu sayıları ve bunların dostane numaralar.^[1]

Özellikleri

Sabit sayısı 3 · 2'nin ikili gösterimiⁿ−1 n+2 hane uzunluğunda, "10" ve ardından gelen n 1 sn.

Olan ilk birkaç Sabit sayı önemli (Sabit asal veya 321 asal):

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, ... (dizi A007505 içinde OEIS )

Ekim 2015 itibariyle^{[Güncelleme]}62 bilinen asal Sabit sayı vardır. Onların n değerler şunlardır:^[2][3][4]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, ... (sıra A002235 içinde OEIS )

İçin asal n≥234760, dağıtılmış hesaplama proje 321 arama.^[5] Bunların en büyüğü, 3 · 2^11895718−1, 3580969 haneye sahiptir ve Haziran 2015'te bulunmuştur.

2008 yılında, Primegrid Sabit asal arayışını devraldı.^[6] Hala arıyor ve şu anda n ≥ 4235414 ile bilinen tüm Thabit asallerini bulmuş durumda.^[7] Ayrıca 3 · 2 formundaki asal sayıları da arıyorⁿ+1, bu tür asallara denir İkinci türden sabit asallar veya İkinci türden 321 asal.

İkinci türün ilk birkaç Sabit sayıları şunlardır:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, ... (sıra A181565 içinde OEIS )

İkinci türden ilk birkaç Thabit asalı şunlardır:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, ... (dizi A039687 içinde OEIS )

Onların n değerler şunlardır:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 70364141, 5082306 .. . (sıra A002253 içinde OEIS )

Dostane sayılarla bağlantı

İkisi de n ve n−1 (birinci türden) Thabit asallarını verir ve ${ displaystyle 9 cdot 2 ^ {2n-1} -1}$ aynı zamanda asaldır, bir çift dostane numaralar şu şekilde hesaplanabilir:

${ displaystyle 2 ^ {n} (3 cdot 2 ^ {n-1} -1) (3 cdot 2 ^ {n} -1)}$ ve ${ displaystyle 2 ^ {n} (9 cdot 2 ^ {2n-1} -1).}$

Örneğin, n = 2, Sabit üssü 11'i verir ve n−1 = 1, Sabit üssü 5'i verir ve üçüncü terimimiz 71'dir. O halde, 2²= 4, 5 ve 11 ile çarpıldığında sonuç 220, bölenlerin toplamı 284 4 kere 71 284, bölenleri 220'ye eşittir.

Bilinen tek n Bu koşulları sağlayanlar 2, 4 ve 7'dir ve aşağıdaki 11, 47 ve 383 numaralı Thabit asallarına karşılık gelir. nSabit asal 5, 23 ve 191 tarafından verilir n−1 ve üçüncü terimlerimiz 71, 1151 ve 73727'dir. (Karşılık gelen dostane çiftler (220, 284), (17296, 18416) ve (9363584, 9437056))

Genelleme

Tamsayı için b ≥ 2, bir Sabit sayı tabanı b formun bir numarasıdır (b+1)·bⁿ Negatif olmayan bir tam sayı için - 1 n. Ayrıca tamsayı için b ≥ 2, bir İkinci tür bazın sabit sayısı b formun bir numarasıdır (b+1)·bⁿ Negatif olmayan bir tam sayı için +1 n.

Williams sayıları aynı zamanda Sabit sayıların bir genellemesidir. Tamsayı için b ≥ 2, bir Williams sayı tabanı b formun bir numarasıdır (b−1)·bⁿ Negatif olmayan bir tam sayı için - 1 n.^[8] Ayrıca tamsayı için b ≥ 2, bir İkinci tür bazın Williams numarası b formun bir numarasıdır (b−1)·bⁿ Negatif olmayan bir tam sayı için +1 n.

Tamsayı için b ≥ 2, bir Sabit ana üs b bir Sabit sayı tabanı b bu da asaldır. Benzer şekilde, tamsayı için b ≥ 2, bir Williams ana üssü b bir Williams sayı tabanı b bu da asaldır.

Her asal p birinci tür üssün Thabit üssüdür p, birinci türden bir Williams asal p+2 ve ikinci türden bir Williams asal p; Eğer p ≥ 5, sonra p aynı zamanda ikinci tür üssün Thabit üssüdür p−2.

Her tam sayı için bir varsayım b ≥ 2, birinci tür bazın sonsuz sayıda Thabit asalı vardır b, birinci türden sonsuz sayıda Williams asalı bve ikinci türden sonsuz sayıda Williams asalı b; ayrıca, her tam sayı için b ≥ 2 değil uyumlu 1 modulo 3'e kadar, ikinci tür bazın sonsuz sayıda Thabit asalı vardır b. (Eğer baz b 1 modulo 3 ile uyumludur, daha sonra ikinci tür bazın tüm Sabit sayıları b 3'e bölünebilir (ve 3'ten büyüktür, çünkü b ≥ 2), bu nedenle ikinci tür bazın Thabit asalları yoktur b.)

İkinci türden Sabit asalların üssü 1 mod 3 ile uyumlu olamaz (1'in kendisi hariç), birinci türden Williams asallarının üssü 4 mod 6 ile uyumlu olamaz ve ikinci türden Williams asallarının üssü ile uyumlu olamaz 1 mod 6 (1'in kendisi hariç), çünkü karşılık gelen polinom b bir indirgenebilir polinom. (Eğer n ≡ 1 mod 3, sonra (b+1)·bⁿ + 1, şuna bölünebilir: b² + b + 1; Eğer n ≡ 4 mod 6, sonra (b−1)·bⁿ - 1, ile bölünebilir b² − b + 1; ve eğer n ≡ 1 mod 6, sonra (b−1)·bⁿ + 1, şuna bölünebilir: b² − b + 1) Aksi takdirde, karşılık gelen polinom b bir indirgenemez polinom öyleyse Bunyakovsky varsayımı doğrudur, o zaman sonsuz sayıda temel vardır b öyle ki karşılık gelen sayı (sabit üs için n koşulu tatmin etmek) asaldır. ((b+1)·bⁿ - 1, negatif olmayan tüm tamsayılar için indirgenemez nyani Bunyakovsky varsayımı doğruysa, sonsuz sayıda temel vardır b öyle ki karşılık gelen sayı (sabit üs için n) asaldır)

En az k ≥ 1 öyle ki (n+1)·n^k - 1 asaldır: (ile başlayın n = 2)

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, ...

En az k ≥ 1 öyle ki (n+1)·n^k + 1 asaldır: (ile başlayın n = 2, 0 eğer böyle değilse k var)

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, ...

En az k ≥ 1 öyle ki (n−1)·n^k - 1 asaldır: (ile başlayın n = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, ...

En az k ≥ 1 öyle ki (n−1)·n^k + 1 asaldır: (ile başlayın n = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, ...

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Numarası". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Thâbit ibn Kurrah Prime". MathWorld.
• Chris Caldwell, Bilinen En Büyük Primes Veritabanı The Prime Pages'da
• Birinci türden bir Sabit üssü 2: (2 + 1) · 2^11895718 − 1
• İkinci türden bir Thabit üssü 2: (2 + 1) · 2^10829346 + 1
• Birinci türden bir Williams asalı 2: (2−1) · 2^74207281 − 1
• Birinci türden bir Williams asalı 3: (3−1) · 3^1360104 − 1
• İkinci türden bir Williams asalı 3: (3−1) · 3^1175232 + 1
• Birinci türden bir Williams asalı 10: (10−1) · 10³⁸³⁶⁴³ − 1
• Birinci tür 113 tabanından bir Williams asalı: (113−1) · 113²⁸⁶⁶⁴³ − 1
• Williams asallerinin listesi
• PrimeGrid’in 321 Prime Araması, birinci tür baz 2'nin Sabit üssünün keşfi hakkında: (2 + 1) · 2^6090515 − 1