Vicsek fraktal - Vicsek fractal

Vicsek fraktal (çapraz formun 5. iterasyonu)

İçinde matematik Vicsek fraktal, Ayrıca şöyle bilinir Vicsek kar tanesi veya kutu fraktal,^[1]^[2] bir fraktal benzer bir yapıdan kaynaklanan Sierpinski halı, öneren Tamás Vicsek. Kompakt gibi uygulamalara sahiptir antenler özellikle cep telefonlarında.

Varyant^[3]

Sierpinski halısının 6 adımı

Kendine yakın fraktal bir

3 \times 2

Kafes

Kutu fraktal ayrıca, bir tarafından oluşturulan çeşitli yinelenen fraktalleri ifade eder. Meydan veya dikdörtgen ızgara kaldırılmış veya bulunmayan çeşitli kutularla ve her yinelemede, mevcut olanlar ve / veya bulunmayanlar önceki görüntüyü küçültür ve içlerine çizilir. Sierpinski üçgeni yaklaşık olabilir $2 \times 2$ bir köşesi kaldırılmış kutu fraktal. Sierpinski halı bir $3 \times 3$ orta kare çıkarılmış kutu fraktal.

İnşaat

Temel kare, 3'e 3 ızgarada dokuz küçük kareye ayrıştırılır. Köşelerdeki dört kare ve ortadaki kare solda, diğer kareler kaldırılıyor. İşlem, kalan beş alt karenin her biri için yinelemeli olarak tekrarlanır. Vicsek fraktal, bu prosedürün sınırında elde edilen settir. Hausdorff boyutu bu fraktalın ${displaystyle extstyle {frac {log (5)} {log (3)}}}$ ≈ 1.46497.

Alternatif bir yapı (aşağıda soldaki resimde gösterilmiştir), dört köşe karesini çıkarmak ve ortadaki kareyi ve üstündeki, altındaki, solundaki ve sağındaki kareleri bırakmaktır. İki yapı aynı sınırlama eğrileri üretir, ancak biri diğerine göre 45 derece döndürülür.

Kendine benzerlikler I - köşe karelerini kaldırmak.
Kendine benzerlikler II - köşe karelerini korumak.4

Fraktal (üst) ve fraktal (alt) çapraz formunun saltire formunun dört iterasyonu.

Antiçapraz dikiş eğrisi, 0-4 arası yinelemeler

Kanaviçe adası

Tarafından yaklaşım kaos oyunu zıplama = 2/3 bir karenin merkezine veya köşelerinden birine doğru rastgele

Özellikleri

Vicsek fraktalının şaşırtıcı özelliği, sıfır alana sahip olmasına rağmen sonsuzdur. çevre tamsayı olmayan boyutundan dolayı. Her yinelemede, tutulan her beş kare için dört kare kaldırılır, yani yinelemede n alan ${displaystyle extstyle {({frac {5} {9}}) ^ {n}}}$ (kenar uzunluğu 1 olan bir başlangıç karesi varsayarak). Ne zaman n sonsuza yaklaştığında, alan sıfıra yaklaşır. Çevre ancak ${displaystyle extstyle {4 ({frac {5} {3}}) ^ {n}}}$ çünkü her iki taraf üç parçaya bölünmüştür ve ortadaki üç tarafla değiştirilerek üç ila beş arasında bir artış elde edilir. Çevre sonsuzluğa yaklaşırken n artışlar.

Vicsek fraktalının sınırı, Tip 1 ikinci dereceden Koch eğrisi.

Daha yüksek boyutlarda analoglar

Vicsek fraktalının 3B analogunun animasyonu (üçüncü yineleme)

Vicsek fraktalının üç boyutlu bir analogu var. Her bir küpü 27 daha küçük parçaya bölerek ve "merkez haç", merkezi küp ve her yüzün merkezine dokunan altı küp hariç tümünü kaldırarak oluşturulur. Hausdorff boyutu ${displaystyle extstyle {frac {log (7)} {log (3)}}}$ ≈ 1.7712.

İki boyutlu Vicsek fraktalına benzer şekilde, bu rakamın hacmi sıfırdır. Her yineleme, her 27 için 7 küp tutar, yani bir hacim ${displaystyle extstyle {({frac {7} {27}}) ^ {n}}}$ yinelemede nsıfıra yaklaşan n sonsuza yaklaşır.

Sonsuz sayıda var Kesitler iki boyutlu Vicsek fraktalını verir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin (2004). "Vicsek fraktal yama anteninin analizi". ICMMT 4th International Conference On, Proceedings Mikrodalga ve Milimetre Dalga Teknolojisi, 2004. Pekin, Çin: IEEE: 98–101. doi:10.1109 / ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.
^ Weisstein, Eric W. "Kutu Fraktal". MathWorld.
^ "Kutu Fraktalleri". 2014-01-03.

Dış bağlantılar

"Kutu Fraktal". Wolfram Alpha Site. Alındı 21 Şubat 2019.

[1] Shan Fuqi; Gu Hongming; Gao Baoxin (2004). "Vicsek fraktal yama anteninin analizi". ICMMT 4th International Conference On, Proceedings Mikrodalga ve Milimetre Dalga Teknolojisi, 2004. Pekin, Çin: IEEE: 98–101. doi:10.1109 / ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.

[2] Weisstein, Eric W. "Kutu Fraktal". MathWorld.

[3] "Kutu Fraktalleri". 2014-01-03.

[1]

[2]

[3]