Weinstein-Aronszajn kimliği - Weinstein–Aronszajn identity

İçinde matematik, Weinstein-Aronszajn kimliği belirtir ki ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle B}$ vardır matrisler boyut m × n ve n × m sırasıyla (biri veya her ikisi de sonsuz olabilir) sonra sağlanır ${ displaystyle AB}$ -den izleme sınıfı (ve dolayısıyla öyledir) ${ displaystyle BA}$),

${ displaystyle det (I_ {m} + AB) = det (I_ {n} + BA),}$

nerede ${ displaystyle I_ {k}}$ ... k × k kimlik matrisi.

İle yakından ilgilidir Matris belirleyici lemma ve genellemesi. O belirleyici analogu Woodbury matris kimliği matris tersleri için.

Kanıt

Kimlik aşağıdaki gibi ispatlanabilir.^[1] İzin Vermek ${ displaystyle M}$ dört içeren bir matris olun bloklar ${ displaystyle I_ {m}}$, ${ displaystyle -A}$, ${ displaystyle B}$ ve ${ displaystyle I_ {n}}$.

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}}.}$

Çünkü ben_m dır-dir ters çevrilebilir, bir blok matrisin determinantı için formül verir

${ displaystyle det { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {m}) det (I_ {n} -BI_ {m } ^ {- 1} (- A)) = det (I_ {n} + BA).}$

Çünkü ben_n tersinir, bir blok matrisin determinantı için formül verir

${ displaystyle det { begin {pmatrix} I_ {m} & - A B & I_ {n} end {pmatrix}} = det (I_ {n}) det (I_ {m} - (- A ) I_ {n} ^ {- 1} B) = det (I_ {m} + AB).}$

Böylece

${ displaystyle det (I_ {n} + BA) = det (I_ {m} + AB).}$

Başvurular

Bu tanımlama, bir Bayes tahmincisi için çok değişkenli Gauss dağılımları.

Kimlik ayrıca, rastgele matris teorisi büyük matrislerin determinantlarını daha küçük olanların determinantlarıyla ilişkilendirerek.^[2]

Referanslar

Bu lineer Cebir ile ilgili makale bir Taslak. Wikipedia'ya şu yolla yardım edebilirsiniz: genişletmek.