Z N modeli - Z N model

${ displaystyle Z_ {N}}$ model basitleştirilmiş istatistiksel mekanik döndürme modeli. Bu bir genellemedir Ising modeli. Keyfi olarak tanımlanabilmesine rağmen grafik, bu entegre edilebilir sadece bir ve iki boyutlu kafesler, birkaç özel durumda.

Tanım

${ displaystyle Z_ {N}}$ Bazen saat modeli olarak da bilinen model, bir çevirmek her düğümdeki değer ${ displaystyle r}$ bir grafikte dönüşler değer alıyor ${ displaystyle s_ {r} = exp { frac {2 pi iq} {N}}}$, nerede ${ displaystyle q in {0,1, ldots, N-1 }}$. Döndürmeler bu nedenle kompleks şeklinde değerler alır birliğin kökleri. Kabaca konuşursak, her bir düğüme atanan dönüşleri düşünebiliriz. ${ displaystyle Z_ {N}}$ herhangi birine işaret eden model ${ displaystyle N}$ eşit uzaklıkta yönler. Boltzmann ağırlıkları genel bir avantaj için ${ displaystyle rr '}$ şunlardır:

${ displaystyle w sol (r, r ' sağ) = toplamı _ {k = 0} ^ {N-1} x_ {k} ^ { sol (rr' sağ)} sol (s_ {r } s_ {r '} ^ {*} sağ) ^ {k}}$

nerede ${ displaystyle *}$ gösterir karmaşık çekim ve ${ displaystyle x_ {k} ^ { sol (rr ' sağ)}}$ kenar boyunca etkileşim gücü ile ilgilidir ${ displaystyle rr '}$. Bunu not et ${ displaystyle x_ {k} ^ { sol (rr ' sağ)} = x_ {N-k} ^ { sol (rr' sağ)}}$ ve ${ displaystyle x_ {0}}$ genellikle 1'e ayarlanır. (gerçek değerli) Boltzmann ağırlıkları, dönüşümler altında değişmez. ${ displaystyle s_ {r} rightarrow omega ^ {k} s_ {r}}$ ve ${ displaystyle s_ {r} rightarrow s_ {r} ^ {*}}$, sırasıyla evrensel dönüş ve yansımaya benzer.

Kendinden ikili kritik çözüm

Bir çözüm sınıfı var ${ displaystyle Z_ {N}}$ genel olarak anizotropik kare kafes üzerinde tanımlanan model. Model, kendi kendine ikiliyse Kramers – Wannier duyu ve dolayısıyla kritik ve kafes, iki olası 'ağırlık' olacak şekildedir ${ displaystyle x_ {k} ^ {1}}$ ve ${ displaystyle x_ {k} ^ {2}}$ olası iki kenar yönlendirmesi için, aşağıdaki parametrelendirmeyi ${ displaystyle alpha}$:

${ displaystyle x_ {n} ^ {1} = x_ {n} sol ( alfa sağ)}$

${ displaystyle x_ {n} ^ {2} = x_ {n} sol ( pi - alfa sağ)}$–

Dualite ilişkisini ve yıldız üçgen ilişkisi sağlayan entegre edilebilirlik, tutmak için çözümü bulmak mümkündür:

${ displaystyle x_ {n} sol ( alpha sağ) = prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac { sin sol ( pi k / N + alpha / 2N sağ )} { sin left [ pi left (k + 1 sağ) / N- alpha / 2N sağ]}}}$

ile ${ displaystyle x_ {0} = 1}$. Bu özel durum ${ displaystyle Z_ {N}}$ model, V.A.'den sonra kendi başına FZ modeli olarak adlandırılır. Fateev ve A.B. Bu çözümü ilk hesaplayan Zamolodchikov. FZ modeli, XY modeli sınırda ${ displaystyle N rightarrow infty}$. Aynı zamanda özel bir durumdur. kiral Potts modeli ve Kashiwara-Miwa modeli.

Çözülebilir özel durumlar

Çoğu kafes modelinde olduğu gibi Istatistik mekaniği için bilinen kesin çözümler yoktur. ${ displaystyle Z_ {N}}$ üç boyutlu model. Bununla birlikte, iki boyutta, belirli değerler için kare bir kafes üzerinde tam olarak çözülebilir. ${ displaystyle N}$ ve / veya 'ağırlıklar' ${ displaystyle x_ {k}}$. Belki de en iyi bilinen örnek, Ising modeli, spinleri iki zıt yönde kabul eden (ör. ${ displaystyle s_ {r} = pm 1}$). Bu tam olarak ${ displaystyle Z_ {N}}$ model için ${ displaystyle N = 2}$ve bu nedenle ${ displaystyle Z_ {N}}$ modelin bir genellemesi olarak düşünülebilir. Ising modeli. Belirli durumlara karşılık gelen tam olarak çözülebilir modeller ${ displaystyle Z_ {N}}$ model üç durumlu içerir Potts modeli, ile ${ displaystyle N = 3}$ ve ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = noktalar = x_ {N-1} = x_ {c}}$, nerede ${ displaystyle x_ {c}}$ belirli bir kritik değer (FZ) ve kritik Askin – Teller modelidir. ${ displaystyle N = 4}$.

Kuantum versiyonu

Bir kuantum versiyonu of ${ displaystyle Z_ {N}}$ saat modeli, benzer bir şekilde inşa edilebilir. enine alan Ising modeli. Hamiltoniyen Bu model aşağıdaki gibidir:

${ displaystyle H = -J ( toplam _ { langle i, j rangle} (Z_ {i} ^ { hançer} Z_ {j} + Z_ {i} Z_ {j} ^ { hançer}) + g toplam _ {j} (X_ {j} + X_ {j} ^ { hançer}))}$

Burada, aboneler kafes sitelere atıfta bulunur ve toplam ${ displaystyle toplamı _ { langle i, j rangle}}$ en yakın komşu site çiftleri üzerinden yapılır ${ displaystyle i}$ ve ${ displaystyle j}$. Saat matrisleri ${ displaystyle X_ {j}}$ ve ${ displaystyle Z_ {j}}$ Pauli matrislerinin tatmin edici genellemeleridir

${ displaystyle Z_ {j} X_ {k} = e ^ {{ frac {2 pi i} {N}} delta _ {j, k}} X_ {k} Z_ {j}}$

ve

${ displaystyle X_ {j} ^ {N} = Z_ {j} ^ {N} = 1}$

nerede ${ displaystyle delta _ {j, k}}$ 1 ise ${ displaystyle j}$ ve ${ displaystyle k}$ aynı sitedir ve aksi halde sıfırdır. ${ displaystyle J}$ enerji boyutlarına sahip bir prefaktördür ve ${ displaystyle g}$ en yakın komşu etkileşimine kıyasla dış alanın göreceli gücünü belirleyen bir başka birleştirme katsayısıdır.

Referanslar

• V. A. Fateev ve A. B. Zamolodchikov (1982); "Yıldız-üçgen ilişkilerinin öz-çifte çözümleri ${ displaystyle Z_ {N}}$-modeller ", Fizik Harfleri A, 92, s. 37–39
• M.A. Rajabpour ve J. Cardy (2007); "Kafes içinde ayrı ayrı holomorfik parafermiyonlar ${ displaystyle Z_ {N}}$ modeller " J. Phys. Bir 22 40, 14703–14714