Menger eğriliği - Menger curvature

İçinde matematik, Menger eğriliği üçlü noktanın n-boyutlu Öklid uzayı Rⁿ ... karşılıklı of yarıçap üç noktadan geçen çemberin. Adını almıştır Avusturya -Amerikan matematikçi Karl Menger.

Tanım

İzin Vermek x, y ve z üç puan olmak Rⁿ; basitleştirmek için, şu an için üç noktanın da farklı olduğunu ve tek bir düz çizgi üzerinde bulunmadığını varsayın. Hadi Π ⊆Rⁿ ol Öklid düzlemi tarafından kapsayan x, y ve z ve izin ver C ⊆ Π benzersiz olun Öklid çemberi içinde Π geçen x, y ve z ( Çevrel çember nın-nin x, y ve z). İzin Vermek R yarıçapı olmak C. Sonra Menger eğriliği c(x, y, z) nın-nin x, y ve z tarafından tanımlanır

${displaystyle c (x, y, z) = {frac {1} {R}}.}$

Üç nokta ise doğrusal, R gayri resmi olarak + ∞ olarak kabul edilebilir ve bunu tanımlamak çok mantıklıdır c(x, y, z) = 0. Noktalardan herhangi biri ise x, y ve z tesadüf, tekrar tanımla c(x, y, z) = 0.

Bir kenar uzunlukları ile ilgili iyi bilinen formülü kullanarak üçgen alanına, bunu takip eder

${displaystyle c (x, y, z) = {frac {1} {R}} = {frac {4A} {| x-y || y-z || z-x |}},}$

nerede Bir kapsadığı üçgenin alanını belirtir x, y ve z.

Menger eğriliğini hesaplamanın başka bir yolu da kimlik

${displaystyle c (x, y, z) = {frac {2sin açısı xyz} {| x-z |}}}$

nerede ${displaystyle açısı xyz}$ yapılan açı y- genişleyen üçgenin köşesi x,y,z.

Menger eğriliği ayrıca genel bir metrik uzay. Eğer X bir metrik uzaydır ve x,y, ve z farklı noktalardır f fasulye izometri itibaren ${displaystyle {x, y, z}}$ içine ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$. Bu noktaların Menger eğriliğini tanımlayın

${displaystyle c_ {X} (x, y, z) = c (f (x), f (y), f (z)).}$

Bunu not et f hepsinde tanımlanmasına gerek yok Xsadece {x, y, z}ve değer c_X (x, y, z) seçiminden bağımsızdır f.

İntegral Eğrilik Doğrultulabilirliği

Menger eğriliği, ayarlandığında kantitatif koşullar vermek için kullanılabilir. ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ olabilir düzeltilebilir. Bir Borel ölçüsü ${displaystyle mu}$ Öklid uzayında ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ tanımlamak

${displaystyle c ^ {p} (mu) = int int c (x, y, z) ^ {p} dmu (x) dmu (y) dmu (z).}$

• Bir Borel seti ${displaystyle Esubseteq mathbb {R} ^ {n}}$ eğer düzeltilebilir ${displaystyle c ^ {2} (H ^ {1} | _ {E})$, nerede ${displaystyle H ^ {1} | _ {E}}$ tek boyutlu gösterir Hausdorff ölçüsü setle sınırlı ${displaystyle E}$.^[1]

Sonucun arkasındaki temel sezgi, Menger eğriliğinin belirli bir üçlü noktanın ne kadar düz olduğunu ölçmesidir (daha küçük ${displaystyle c (x, y, z) max {| x-y |, | y-z |, | z-y |}}$ x, y ve z'nin doğrusal olmaya ne kadar yakınsa) ve bu integral miktarın sonlu olması, E kümesinin çoğu küçük ölçekte düz olduğunu söylüyor. Özellikle, integraldeki güç daha büyükse, setimiz sadece düzeltilebilir olmaktan daha pürüzsüzdür.^[2]

• İzin Vermek ${görüntü stili p> 3}$, ${displaystyle f: S ^ {1} ightarrow mathbb {R} ^ {n}}$ homeomorfizm olmak ve ${displaystyle Gama = f (S ^ {1})}$. Sonra ${displaystyle fin C ^ {1,1- {frac {3} {p}}} (S ^ {1})}$ Eğer ${displaystyle c ^ {p} (H ^ {1} | _ {Gama})$.
• Eğer ${displaystyle 0$ nerede ${displaystyle 0$, ve ${displaystyle c ^ {2s} (H ^ {s} | _ {E})$, sonra ${displaystyle E}$ sayıca çok olması açısından düzeltilebilir ${displaystyle C ^ {1}}$ eğriler ${displaystyle Gama _ {i}}$ öyle ki ${displaystyle H ^ {s} (E ackslash igcup Gama _ {i}) = 0}$. Sonuç için doğru değil ${displaystyle {frac {1} {2}}$, ve ${displaystyle c ^ {2s} (H ^ {s} | _ {E}) = infty}$ için ${displaystyle 1$.:^[3]

Ters yönde ise Peter Jones'un bir sonucu var:^[4]

• Eğer ${displaystyle Esubseteq Gamma subseteq mathbb {R} ^ {2}}$, ${displaystyle H ^ {1} (E)> 0}$, ve ${displaystyle Gamma}$ düzeltilebilir. Sonra pozitif bir Radon ölçümü var ${displaystyle mu}$ destekleniyor ${displaystyle E}$ doyurucu ${displaystyle mu B (x, r) leq r}$ hepsi için ${displaystyle xin E}$ ve ${görüntü stili r> 0}$ öyle ki ${displaystyle c ^ {2} (mu)$ (özellikle bu ölçü, Frostman ölçüsü E ile ilişkili). Dahası, eğer ${displaystyle H ^ {1} (B (x, r) cap Gamma) leq Cr}$ bazı sabitler için C ve tüm ${displaystyle xin Gamma}$ ve r> 0, sonra ${displaystyle c ^ {2} (H ^ {1} | _ {E})$. Bu son sonuç, Analistin Gezici Satıcı Teoremi.

Genel metrik uzaylarda benzer sonuçlar geçerlidir:^[5]

Ayrıca bakınız